2021 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis on nonlinear heat equations based on the matched asymptotic expansions
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18K13437
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| Research Institution | Akita University |
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Principal Investigator |
原田 潤一 秋田大学, 教育文化学部, 准教授 (00580169)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 摂動項を持つエネルギー臨界型熱方程式 / 解の爆発問題 / 接合漸近展開 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題の目標は、エネルギー臨界型と呼ばれる非線形偏微分方程式における解の特異性について調べることである。このクラスの偏微分方程式では、空間次元など考える状況によって解全体の様子が大きく異なることが知られている。そこで本課題では、エネルギー臨界型偏微分方程式に摂動を与えたとき、解全体の様子がどのように変化するのかを、解の特異性という視点から調べた。摂動を加えるという問題設定自体は標準的であるが、エネルギー臨界の場合には、解の特異性の仕組みが繊細であるため、それまでの特異性が崩れて無くなることや、新しい特異性が生まれてくるなど、新しい現象が期待できる。そのような現象を探していくことが、本課題の問題意識である。摂動には大きく分けて二種類あり、解の爆発を助ける優線形型とそうでない劣線形型がある。本課題では、劣線形型の摂動問題について幾つか結果を得ることができた。劣線形型の摂動問題は、優線形熱方程式と劣線形熱方程式が合わさってできた偏微分方程式と見ることができる。このような視点に立ったとき、優線形熱方程式の解と劣線形熱方程式の解をつなぎ合わせて、元の摂動問題の解を作れるかという問題が生まれてくる。このような見方を導入したところが、本課題のうりである。実際、二つの解をつなぎ合わせ、そこに補正項を加えることで、新しい特異性を持つ解を構成することができた。その際に鍵となるのが、個々に作った解同士がいつ滑らかに接続できるかという問題である。この点については、従来の接合漸近展開法を用いて解決することができた。
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