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2018 Fiscal Year Research-status Report

代数的手法による離散系の可積分性判定

Research Project

Project/Area Number 18K13438
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

間瀬 崇史  東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任助教 (80780105)

Project Period (FY) 2018-04-01 – 2022-03-31
Keywords可積分系 / 離散可積分系 / 代数的エントロピー / Laurent現象
Outline of Annual Research Achievements

離散可積分系についての研究を、代数的手法による可積分性判定法という観点から行った。用いた主な道具は、特異点閉じ込めテスト、代数的エントロピー(次数増大)、Laurent性、既約性、互いに素条件などである。
1. Laurent性を持つような格子方程式(偏差分方程式)について、定義領域が解に与える影響を調べた。領域や方程式が適当かつ自然な条件を満たすときに、Laurent性を持つ格子方程式の既約性が、領域の取り方によらないことを示した。これにより、Laurent性を持つような方程式の既約性が、方程式に固有の性質である(つまり初期値問題の領域の取り方によらない)ということが言えるようになった。さらに、Laurent性を持つ格子方程式を病的な領域で考えた際に何が起こるのかについても、具体例を中心に調べた。
2. 離散可積分系にRiccati型の拡張を施して得られるような高階の方程式(3階以上の常差分方程式)について、主に特異点閉じ込めパターンと次数増大の観点から調べた。まず、既知の方程式をRiccati拡張して得られる数多くの具体例について、その特異点閉じ込めパターンや次数増大を詳しく調べた。同時に、特異点パターンからRiccati拡張の情報を得ることで、Riccati拡張をする前の方程式を復元する方法についても、具体例を中心に調べた。さらに、他の方程式のRiccati拡張とはなっていないであろう方程式であって、その次数が3次関数的に増大するような具体例を構成することができた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

格子方程式の既約性についての結果は、当初は予想していなかったものである。また、特異点閉じ込めを通過しない可積分系についての研究は、当初の計画以上に進んでいると言える。その一方、express methodと因子の打消しの関係についての研究は、当初の計画よりもやや遅れている。総合的に判断すれば、進展はおおむね順調であると言える。

Strategy for Future Research Activity

今後も引き続き、離散可積分系について、代数的手法による可積分性判定法の観点から研究を進める。なお、特異点閉じ込めを通過しない可積分性については、Riccati拡張以外にも拡張を考えなければならないということがわかったので、どのような拡張が可能なのかについても調べる。

Causes of Carryover

パソコンの周辺機器やソフトウェアの購入が年度内に完了しなかったため、次年度に持ち越しとなってしまった。

  • Research Products

    (9 results)

All 2019 2018

All Journal Article (8 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Peer Reviewed: 7 results,  Open Access: 3 results) Presentation (1 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results)

  • [Journal Article] Singularity confinement as an integrability criterion2019

    • Author(s)
      Mase Takafumi、Willox Ralph、Ramani Alfred、Grammaticos Basil
    • Journal Title

      Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

      Volume: 52 Pages: 205201~205201

    • DOI

      https://dx.doi.org/10.1088/1751-8121/ab1433

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Toda type equations over multi-dimensional lattices2018

    • Author(s)
      Kamiya Ryo、Kanki Masataka、Mase Takafumi、Okubo Naoto、Tokihiro Tetsuji
    • Journal Title

      Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

      Volume: 51 Pages: 364002~364002

    • DOI

      https://dx.doi.org/10.1088/1751-8121/aad375

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Nonlinear forms of coprimeness preserving extensions to the Somos-4 recurrence and the two-dimensional Toda lattice equation -investigation into their extended Laurent properties-2018

    • Author(s)
      Kamiya Ryo、Kanki Masataka、Mase Takafumi、Tokihiro Tetsuji
    • Journal Title

      Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

      Volume: 51 Pages: 355202~355202

    • DOI

      https://dx.doi.org/10.1088/1751-8121/aad074

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Studies on spaces of initial conditions for non-autonomous mappings of the plane2018

    • Author(s)
      Mase Takafumi
    • Journal Title

      Journal of Integrable Systems

      Volume: 3 Pages: xyy010

    • DOI

      https://dx.doi.org/10.1093/integr/xyy010

    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] On the Coprimeness Property of Discrete Systems without the Irreducibility Condition2018

    • Author(s)
      Kanki Masataka、Mase Takafumi、Tokihiro Tetsuji
    • Journal Title

      Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications

      Volume: 14 Pages: 065

    • DOI

      https://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2018.065

    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Calculating the algebraic entropy of mappings with unconfined singularities2018

    • Author(s)
      Ramani A、Grammaticos B、Willox R、Mase T、Satsuma J
    • Journal Title

      Journal of Integrable Systems

      Volume: 3 Pages: xyy006

    • DOI

      https://dx.doi.org/10.1093/integr/xyy006

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Integrable mappings and the notion of anticonfinement2018

    • Author(s)
      Mase T、Willox R、Ramani A、Grammaticos B
    • Journal Title

      Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

      Volume: 51 Pages: 265201~265201

    • DOI

      https://dx.doi.org/10.1088/1751-8121/aac578

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] 多次元格子上の擬似可積分系2018

    • Author(s)
      神吉雅崇、時弘哲治、間瀬崇史
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録

      Volume: 2071 Pages: 43~64

    • Open Access
  • [Presentation] Dynamical degrees and singularity patterns2018

    • Author(s)
      T. Mase, R. Willox, A. Ramani, B. Grammaticos
    • Organizer
      International Conference on Symmetry and Integrability in Difference Equations
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2019-12-27  

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