2019 Fiscal Year Research-status Report
対数型スケール変換が拓く関数不等式の新展開と偏微分方程式への応用
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18K13441
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 半線型熱方程式 / 一意性 / 凝スケール不変性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
半線型熱方程式の局所適切性について研究を行なった．解の存在について，具体的な藤田型非線形項に対しては，Baras--Pierre, Hisa--Ishige, Takahashiらの結果により，局所解の存在・非存在を分ける初期値の特異性が明らかにされている．本研究では，藤田型の非線形項に対して得られていたこれらの結果を，一般の単調増加凸非線形項に拡張した．藤田型の場合には，べき型の特異性が解の存在，非存在を分けることが知られているが，本研究では，一般の非線形項の増大度から，初期値に許される特異性を決定している．
さらに，局所解の一意性・非一意性についても考察を進めた．藤田型の非線形項の場合には，スケール臨界指数と非線形項の可積分指数が釣り合う場合が，一意・非一意の境となることが知られている．本研究で扱う一般増大度を持つ非線形項については，スケール臨界指数と非線形項の可積分指数の両方が明示的に得られないため，両者の釣り合いを用いた分類は困難である．そこで非線形項の増大度を凝スケール不変性の観点から抽出する方法を考案し，指数関数をモデルケースとして含む一般の非線形項に対して，増大度の第1主要部，第2主要部を抽出した．第1主要部から存在性の閾値が得られることは証明済みであるから，現在は第2主要部が一意性の閾値となることを証明すべく研究を進めている．非一意性証明のためには，特異定常解の構成が鍵となるため，一般の非線形項に対する非一意性の研究を推進するための第一手としてこれに取り組んでいる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般の非線形項を持つ半線型熱方程式の一意性問題について，スケール不変構造の第二項に相当する量の抽出に成功した．これは，特異定常解を構成するための基軸となるものである．現状では特異定常解の構成にはいたっていないものの，スケール不変構造の第二項から特異性の主要部が類推され，そこから剰余項が満たすべき微分方程式を抽出することができる．この流れは当初予定していたものであり，研究は順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は予定通り，Ni--Sacksによって構築された方法に従って非一意性を証明する．具体的には，特異定常解を構成し，それを初期値とする特異解と正則解の両方を構成する．また，得られた結果を全空間に拡張する．
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