2020 Fiscal Year Research-status Report
対数型スケール変換が拓く関数不等式の新展開と偏微分方程式への応用
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18K13441
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 半線形熱方程式 / 非線形スケール不変性 / 特異定常解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
半線型熱方程式の大域適切性および解の非一意性について研究を行なった．べき乗型の非線形項に対して，解の存在についてはFujita--Katoの原理に基づく大域可解性の分類がWeisslerにより為されている．さらに，指数が二重臨界（スケール臨界かつ弱解の可積分臨界）の場合には，初期値として特異定常解を選べば，特異解および正則解の両方が存在することが知られている（非一意性）．本研究では，凝スケール変換を用いることで，一般の単調増加凸非線形項に対して大域可解性を分類した．さらに，即時爆発を起こすための初期値の特異性を，非線形項を用いて明示した．また，一般の非線形項を持つ半線形熱方程式に対する非一意性について，域値を与えると予想される特異定常解を構成した．今後は，特異定常解が実際に一意性の閾値となることを証明する．
また，臨界Sobolevの不等式として知られるTrudingerの不等式を，劣臨界不等式の連続極限として記述する方法を研究し，Carleson--Chang levelの特徴づけを得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までに，臨界問題の一つである指数型非線形項を持つ2次元半線型熱方程式について，非一意性の結果を証明した．本年度は，一般の凸非線形項を持つ半線形熱方程式の非一意性を証明するために，その鍵となる特異定常解を構成した．非一意性証明の準備が整ったため，研究は概ね順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度は研究計画に沿った出張を行うことができなかった．本年度は状況の許す範囲で出張を行い，共同研究者との議論を深める．さらに，劣臨界問題の連続極限として臨界問題を導出するために，具体的な劣臨界問題の形をq-対数関数の観点から同定する．また，一般の非線形項を持つ半線形熱方程式について，非一意性を証明する．
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| Causes of Carryover |
感染症の蔓延により，予定していた出張を計画通りに実施することができなかったため，次年度へ繰り越した．感染症の拡大が収まり次第，研究計画に沿って出張を行い，共同研究者と議論を行う．
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