非線形分散型方程式の幾何学的対称性と共鳴現象の解析

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K13442
• Research Institution: Saga University
• Principal Investigator: 加藤 孝盛 佐賀大学, 理工学部, 講師 (50620639)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 分散形方程式 / 非線形 / 初期値問題 / 適切性 / 可積分系

Outline of Annual Research Achievements

申請者の研究課題は, 非線形分散型方程式に対する初期値問題の適切性の解明である。その解析方法は, 分散性と非線形のバランスにより定まり, Bourgainらの研究を基礎に, 線形化方程式の解の性質と非線形項の幾何学的構造を同時扱える手法が構築され, 大きな進展を遂げた。申請者は, 直接的には線形化方程式の解の摂動として捉えることができないが, 高い対称性を持つ可積分系の非線形分散型方程式に研究対象とする。これまでの研究を通じて, トーラス上の5次KdV方程式と5次修正KdV方程式に対し, 方程式の解のflowと線形化方程式の解の摂動との本質的なずれを引き起こす非線形相互作用は, 微分の損失を持つ共鳴部分であることがわかった。この部分は, 方程式の高い対称性から, 明示的に局在化されるため, 複数個の保存量を用いた変換で相殺することができる。これより, 逐次近似法を用いることでエネルギー空間での適切性を示すことができた。今年度の研究では, 微分の損失を持たない共鳴部分が, 対称性からある程度集約され, より低い正則性で統一的に評価できることが分かった。特に逐次近似法が機能するための臨界となる正則性で, 評価が可能となる。残りの非線形相互作用は, 非共鳴構造を持つため, 方程式に依存しない標準的な道具を利用することにより, 上と同じ正則性で評価することができ, 適切性が得られた。この結果から5次KdV方程式と5次修正KdV方程式の特徴は, 共鳴部分の構造に集約されており, 他の可積分系の非線形分散型方程式においても同様の構造を持っていることが期待できる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度は, KdV階層に属する一般の次数の高次KdV方程式に対する初期値問題の適切性の研究を進展させることを予定していた。しかし, 7次以上の高次KdV方程式において, 微分の損失を持つ共鳴部分が, 解のflowの高次近似に多様に現れ, それらが明示的に局在化されることを示すことは予想以上に困難であった。このようにKdV階層に属する一般的な方程式に対して, その共鳴部分の構造を特徴を明らかにする研究は遅れている。

Strategy for Future Research Activity

研究実績で述べたように, 5次KdV方程式と5次修正KdV方程式に対して, 逐次近似法の意味で臨界となる正則性の指数で適切性を示したが, KdV方程式や修正KdV方程式の結果から, 適切と非適切の臨界となる正則性の指数はさらに低いことが予想される。逐次近似法の意味で線形化方程式の摂動と本質的なずれを引き起こす非線形相互作用が, 非常に限定的な共鳴部分であることが分かってきた。そこで申請者は, 解を構成する関数空間をその共鳴部分の構造を反映したものに設定することで, より低い正則性で適切性を解明する研究に従事したい。
またKdV階層に属する一般の次数の高次KdV方程式に対する研究も並行して進める。

Causes of Carryover

新型コロナウィルスの拡散の影響により, 今年度, 参加する予定であった研究集会が中止あるいはオンラインで実施されたため, それに使用する予定であった旅費を繰り越す。繰り越した助成金は, コロナウィルスの拡散が収束後, 対面で実施される研究集会などの旅費として使用する予定である。また自らが組織委員である研究集会 「Saga Workshop on PDE」と「PDE Workshop in Miyazaki」を来年度も継続し開催する予定である。