2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K13443
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
曽我 幸平 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (80620559)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非圧縮性Navier-Stokes方程式 / Leray-Hopfの弱解 / 差分法 / Hamilton-Jacobi方程式 / 弱KAM理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、応用解析的アプローチによって、力学系および流体力学に関する定性的・定量的な結果を追求することである。
平成３０年度の研究では、Chorinの方法を一般化することで、非圧縮性Navier-Stokes方程式のLeray-Hopfの弱解を差分法で構成する方法を発表した。この結果は、時間と空間の刻み幅にあるスケール条件を課していたが、この条件を取り除くことに成功した。これによって、同差分法を用いたさらなる解析が可能になった。例えば、任意形状の有界領域においてC^3級の解が存在するとき、同差分法の収束率を証明した。また、同差分法の時間大域的な可解性と収束を示し、解の長時間挙動・時間周期解の構成・滑らかな時間周期解への収束率に関する解析を行った。従来の枠組みは強いスケール条件を必要とするため、これらの結果を得ることは難しかった。以上の成果は論文としてほぼまとまっており、学術雑誌投稿へ向けた最終段階にある。
弱KAM理論は１階のHamilton-Jacobi方程式に対して展開されるが、その類似の理論が粘性Hamilton-Jacobi方程式やdiscounted Hamilton-Jacobi方程式に対して整備されている。研究代表者が提案したHamilton-Jacobi方程式の粘性解を構成する差分法の枠組みを応用して、離散Hamilton-Jacobi方程式に対する弱KAM理論を一般空間次元の場合に構築した。また、それに対応するdiscount問題についても明らかにした。以上の成果は論文としてほぼまとまっており、学術雑誌投稿へ向けた最終段階にある。最近、中国のグループがcontact Hamilton-Jacobi方程式に対する弱KAM理論を整備したが、その物理的解釈および数値解析的方法に関する国際共同研究を開始した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画で述べた課題を解明するためには、その前提となるアイデア・概念の整理と必要となる数学的道具の準備が必須である。当該年度の研究では、これらの準備的研究が着実に進んでいる。また、いくつかの成果は予想外に良いものであった。このことから、研究はおおむね順調に進んでいると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
Chorinの方法を一般化した差分法による、非圧縮性Navier-Stokes方程式のさらなる解析を進める。特に、スケール条件無しで時間大域的な可解性・収束性が示されたので、新たにできることが多くありそうである。ダルムシュタット工科大学への出張では、数値流体力学に従事する研究グループと討論し、二相問題などの数値計算において、スキームの時間大域的可解性と安定性が数学的に保証されることの重要性について情報交換した。これに関連する問題設定と数学解析も進める。
差分法による離散Hamilton-Jacobi方程式に対する弱KAM理論の枠組みは、対応するdiscount問題やcontact問題にも適用できることが明らかになった。上海交通大学への出張では、contact弱KAM理論の提唱者の一人と討議し、両者が持ち合わせている方法論について情報交換した。これらを融合させる研究計画が進行中である。
流体力学における粒子法に関連して、格子Boltzmann方程式からLeray-Hopfの弱解を構成する方法についても基本となるアイデアを模索していく。また、古典KAM理論の逐次近似に現れるhomological方程式とHamilton-Jacobi方程式のdiscount近似の方法を組み合わせた解析によって古典KAM理論と弱KAM理論を結びつける方法についても基本となるアイデアを模索していく。
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| Causes of Carryover |
社会情勢の影響により、計画していた出張のいくつかがキャンセルとなったため。翌年度予算と合わせて、研究遂行のための物品費(数値計算用ソフトウェア、図書、PC周辺機器など)および出張旅費(研究討論、情報収集、成果報告、学会参加など)に充てる。
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