2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K13443
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Research Institution | Keio University |
Principal Investigator |
曽我 幸平 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (80620559)
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Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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Keywords | 非圧縮性Navier-Stokes方程式 / Hamilton-Jacobi方程式 / 弱KAM理論 / Leray-Hopfの弱解 / 粘性解 / 差分法 |
Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、応用解析的アプローチによって、力学系および流体力学に関する定性的・定量的な結果を追求することである。
これまでの研究によって、Chorinの方法(非圧縮性Navier-Stokes方程式のLeray-Hopfの弱解を差分法で構成する方法)を一般化した。最初の論文では、任意形状の有界領域上の初期値問題に対して時間・空間のスケール条件無しで収束証明を与えた。さらに2020年度の研究を通して、時間大域的な可解性と収束、滑らかな解への収束率の評価、解の長時間挙動・時間周期解の構成・滑らかな時間周期解への収束率の評価などに関する結果を論文にまとめ、学術雑誌に投稿した。これら2つの論文によって、標準的な非圧縮性Navier-Stokes方程式に対するChorinの方法の数学的基礎が確立した。滑らかな解への収束率の評価をさらに鋭くすることが応用上求められる。また、自由境界を伴う二相流体に対してChorinの方法を応用することが期待される。これらの課題を解決するための基礎研究を行った。
弱KAM理論は最も標準的な作用汎関数の最小化問題に基づいて展開される。作用汎関数を異なるタイプのものにすることで類似の理論が展開される。これまでの研究では、ランダムウォークに対して定義される作用汎関数の最小化問題から帰結される弱KAM理論の構築に取り組んできた。2020年度の研究を通して、その成果を論文にまとめ、学術雑誌に投稿した。解の一意性や長時間挙動に関して標準的な弱KAM理論とは著しく異なる構造を見出すなど、大きな発見があった。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2020年度の研究では、論文にまとめる最終段階にあった結果をさらに洗練することができた。研究実績の概要で述べた3つの論文は、当該分野の研究を進める上で最も基本になるものである。このことから、研究はおおむね順調に進んでいると判断する。
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Strategy for Future Research Activity |
Chorinの方法について、(1) 滑らかな解への収束率の評価をさらに鋭くすること、(2) 自由境界を伴う二相流体に応用すること、が当面の課題となる。(1): 現在得られている収束率の評価において、どの項がどの部分で収束率の評価を悪くしているか詳しく分かっている。この問題点を回避するために、"reference domain"という新しい考え方を導入して、従来とは全く異なる方法で非圧縮性条件(divergence freeの条件)を取り扱う。(2): 二相流体の問題設定は多岐にわたる。その中でL^2の枠組みで数学解析が進んでいるモデルに注目し、Chorinの方法を適用する。自由境界近傍で差分法を展開するための基礎研究に注力する。
研究実績の概要で述べた弱KAM理論に関する結果は、離散Hamilton-Jacobi方程式の連続極限における解の選択問題を提起する。また、contact Hamilton-Jacobi方程式に対する弱KAM理論を一般化するためのアイデアを含んでいる。解の選択問題は、discounted Hamilton-Jacobi方程式および粘性Hamilton-Jacobi方程式に対するdiscount項・粘性項のゼロ極限にも現れ、盛んに研究されている。これまでの研究成果に基づいて離散問題に対する選択問題に取り組む。contact Hamilton-Jacobi方程式に対する弱KAM理論に取り組む中国のグループと連携して研究を進める。
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Causes of Carryover |
社会情勢の影響により、計画していた出張のいくつかがキャンセルとなったため。翌年度予算と合わせて、研究遂行のための物品費(数値計算用ソフトウェア、図書、PC周辺機器など)および出張旅費(研究討論、情報収集、成果報告、学会参加など)に充てる。
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