2018 Fiscal Year Research-status Report
非有界な係数をもつ2階楕円型作用素の理論の展開と応用
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18K13445
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
側島 基宏 東京理科大学, 理工学部数学科, 講師 (20760367)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非有界な係数をもつ楕円型作用素 / 非線形消散型波動方程式 / 非線形波動方程式 / 外部問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究を実行するにあたり、初年度は基本となるユークリッド空間上のシンプルな消散型波動方程式及び波動方程式について扱った。ポテンシャル論的表現では、2次元ユークリッド空間と、3次元以上のユークリッド空間では本質的に性質が異なる。これを非線形方程式の解の挙動から理解することを目的とした。
藤田型（熱）方程式の外部問題では、2次元のときのみ解の存在時間に境界の影響が現れることが分かっているが，その構造が（消散型）波動方程式にも表れるか、というのがここでの問いである。
消散型波動方程式では、以前の研究で提案した多項式の重み付きエネルギー評価を用いて、可積分とは限らない初期値に対して大域解の存在しうる非線形項の指数の閾値を決定した。また、西原健二氏（早稲田大）、若杉勇太氏（愛媛大）との共同研究で、消散構造が空間遠方で増大し、かつ時間にも依存する場合の非線形項の指数の閾値を決定した。
波動方程式では、広く用いられてきたテスト関数法と呼ばれる手法を、波動方程式の臨界問題へ応用できるような枠組みへ拡張し、ある波動方程式の連立系の爆発解に対する解の最大存在時間の精密な評価を導出した（池田正弘氏（慶応大/理研）と若狭恭平氏（釧路高専）との共同研究）。また、本課題で重要である同方程式の外部問題について、3次元以上の場合に全空間の場合と同様の解の最大存在時間の評価が得られることを証明した（若狭恭平氏（釧路高専）との共同研究）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
消散型波動方程式では、多項式の重み付きエネルギー評価を用いて大域解の存在を示すが、その際に重要になるのが、非有界な拡散係数をもつ熱方程式の優解の構成であることが分かってきた。この部分に2次元外部問題特有の構造を用いることで2次元特有の現象が引き出せると期待している。
また上記に挙げた池田正弘氏（慶応大/理研）と若狭恭平氏（釧路高専）との共同研究によって、波動方程式に対する簡素な解の最大存在時間の評価法を導入した成果として、爆発現象を捉えるための手法がより俯瞰的に捉えることが可能になった。その知見を基に外部問題へのアプローチのために必要な性質を再考し、3次元以上の外部問題への足掛かりを得た。同時に、2次元の場合の大きな障害である調和関数の構造が際立ってみえてきている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に得られた（消散型）波動方程式に対する解析法の根底にある、非有界な係数をもつ2階楕円型作用素の性質に対する研究を進める。
また並行して、上記に挙げた方程式に対する大域解・爆発解の研究を進める。
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| Causes of Carryover |
本研究は、若手研究（B）16K17619「非有界な係数をもつ2階楕円型作用素の多角的研究」と密接にかかわっている。同研究課題の研究機関が延長され、同時期に実行できるようになったため、今年度の利用は申請額の半額程度になっている。
次年度は、海外出張を（少なくとも）2件控えているので当初の申請額以上が必要になると思われる。
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