2019 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis about misorientations and triple junctions effects on evolution of grain boundaries
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18K13446
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
水野 将司 日本大学, 理工学部, 准教授 (80609545)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 結晶成長 / 曲率流方程式 / 幾何学的変分問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結晶成長を記述する発展方程式の導出とその数値解析を行った. Yekaterina Epshteyn氏とChun Liu氏との共同研究により, 曲率の効果を緩和した常微分方程式系の大域解の数値計算を行った. この結果, 結晶粒界エネルギーの減衰レートは指数的とも代数的ともとれることがわかった.
次に, 熱の効果を取り込むために, 熱力学と勾配流, Fokker-Planck系を首尾一貫した方法で取り込む方法をEpshteyn氏, Liu氏と考察した. そこで, Fokker-Planck系による最適輸送問題と勾配流, 熱力学を組み合わせたモデルの導出方法を結晶成長問題について考察した. 最適輸送問題におけるJordan-Kinderlehrer-Ottoの方法は, 勾配流をWasserstein距離空間で再定義することによって, Fokker-Planck系とエントロピーを導出するものであり, 流体力学や走化性モデルでの発展が著しい. 我々は結晶成長問題をFokker-Planck系で書き直すことについて研究を行った.
昨年より高棹圭介氏と共同で研究を続けてきた, 曲率と結晶方位差を取り込んだモデルから得られた偏微分方程式について, 結晶粒界エネルギー密度関数の仮定を考察した. 密度関数に凸性を仮定することで, 時間大域解の存在とその解の漸近挙動, 特に直線に指数オーダーで収束することを示した.
可香谷隆氏, 高棹圭介氏と曲率の効果を入れた三重点付きネットワーク問題の可解性に取り組んだ. 結晶粒界にあたる曲線をパラメータ表示したうえで, 曲線の変分ベクトル場を接成分と法成分に分解し, それぞれの発展方程式を導出した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
結晶成長を記述する発展方程式に関する, Epshteyn氏とLiu氏との研究により得られた数値計算は, 結晶粒界エネルギーの減衰レートについての考察が必要であることを示唆している. エネルギーの減衰レートが代数的であれば, 昨年度得られた三重点の指数漸近安定性と両立しない. このことは, 数値計算において結晶が消えるなど臨界現象も取りこんでいることが原因と思われる. 次元解析の結果によると, エネルギーの減衰レートは代数的であるべきである. 他方で, 指数的減衰レートは問題を線形化したことに起因している. この問題が多重尺度性を持つことが本質的であり, 代数的減衰レートは方程式の非線形性が強く現れていると考えられる. この数値計算を含めた大域解の漸近挙動について, 査読付き雑誌に論文を投稿中である. さらなる解析に向けて, Lojasiewicz-Simonの不等式を用いた, 時間大域挙動の研究を行っている. また, 高棹氏と共同で研究した曲率の影響を考慮した二相問題について, 可解性と大域解の漸近挙動についての結果を査読付き雑誌に論文を投稿中である.
熱の効果については, 昨年度, 二相問題に対して熱力学と勾配流を取り込んだ方程式を考察したが, 結晶粒界のモデルとなるネットワーク問題に拡張する方法がわからなかった. また, この方法が他の勾配流の問題にも適用できるか, 首尾一貫した方法であるかどうかが明らかでなかった. 現在, 結晶粒界エネルギーに対する状態変数をどのように取るべきかと, 得られる方程式の違いとモデルの妥当性の解析を行っている.
三重点付きネットワーク問題についての得られた方程式系は三重点におけるエネルギー平衡条件が非線形Neumann境界条件となっている. この方程式系の可解性を示すために半群理論やSchauder理論の構築を進めている.
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| Strategy for Future Research Activity |
結晶粒界エネルギーから熱力学を考慮した結晶成長を記述する発展方程式の導出に取り組む. 現在までの進捗状況において, 熱力学, 結晶粒界性格分布, 粒界エネルギーの消散性のどの点からみても満足のいくモデルは得られていない. 結晶粒界エネルギーをどのように定義するか, 状態変数をどのように取るかがこの問題の焦点となっており, 状態変数の取り方に応じた発展方程式の導出と, 結晶成長モデルとしての妥当性を調べる.
時間大域挙動の解析のためにLojasiewicz-Simonの不等式を用いた, 勾配流の時間大域漸近挙動の解析に取り組む. 高棹氏と研究した偏微分方程式の解析について, 結晶粒界エネルギーの凸性を仮定がはずせないかを考える. さらに, この漸近挙動の解析をEpshteyn氏, Liu氏と研究した, 曲率効果を緩和したモデルの漸近挙動の解析に応用する. そして, モデルの持つ非線形性を考慮した, 結晶粒界エネルギーの時間大域挙動を調べる.
三重点付きネットワーク問題で曲率の効果を加えた方程式系の解析を可香谷氏, 高棹氏と行う. Mantegazza-Novaga-Pluda により曲率流方程式のネットワーク解の解析手法の研究が進んでいる. そこで, 曲率流方程式の解析手法を応用して, 我々の問題である, 時間依存する曲率流方程式のネットワーク解の可解性を考察する. さらに, 三重点におけるエネルギー平衡条件を動的条件にかえて, エネルギー消散がより速くなるモデルについて, 方程式系の導出と可解性を考察する.
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