2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K13447
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| Research Institution | Ibaraki National College of Technology |
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Principal Investigator |
佐々木 多希子 茨城工業高等専門学校, 国際創造工学科, 助教 (30780150)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形波動方程式 / 爆発現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形波動方程式の爆発境界がいつ特異性を持つのか，また爆発境界が特異性を持つ場合，波動方程式の解がどのような性質を持つのかを明らかにすることが本研究の目的である．
昨年度，ある非線形項が未知関数の導関数を含む波動方程式の，初期値にある条件（特に時間についての１階微分が符号変化する）を課した場合，爆発境界が特異性を持ち，さらに爆発境界の傾きが対応する特性曲線の傾きに関連する値に収束することを示した．本年度，この内容が国際誌に掲載された．
また，本年度は，ある波動方程式の初期値にある条件（特に時間についての1階微分が常に正である）を課したとき，爆発境界が特異性は持たないが，爆発境界の傾きが，特性曲線の傾きに関連する値に収束するかどうかを現在，考察中である．ただし，非線形項は昨年度のものとは異なる．今後，上記の予想に対する肯定的な証明を完成させ，国際誌に論文として投稿する予定である．さらに，上記を応用し，解の時間についての1階微分が常に正の場合でも，爆発境界が特異性を持つことがあることを示し，昨年度までの結果もあわせて，爆発境界の特異性がいつ発生するのか，統一的な理論を構築する予定である．
また本年度は，パリ第13大学のZaag氏と共に，変分構造を持つある非線形波動方程式系の爆発境界について議論を行った．
最後に，非線形項に未知関数の導関数を含む波動方程式の解が対応する常微分方程式の解に収束する場合，波動方程式の爆発境界が対応する常微分方程式の爆発時間に収束することを示した結果を論文として国際誌に投稿した．この結果は掲載が決定している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ある変分構造を持たない波動方程式においてある初期条件のもとで，爆発境界に特異性を持つことが示された．
このことから爆発境界の特異性の有無は，爆発境界付近での解が，ある意味で，常微分方程式の解の性質を持っているかいないかに大きく依存していることが分かった．常微分方程式の解の性質を持っていれば爆発境界は特異性を持たず，常微分方程式の解の性質を持たなければ爆発境界は特異性を持つことが，一部の方程式では数学的に証明ができた．
当初目標の一つとしていた「爆発境界の特異性がいつ発生するのか」について，ある波動方程式については数学的な証明が国際誌に論文として掲載されたことから，研究は順調に進んでいると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは「研究実績の概要」で述べた，「ある波動方程式の初期条件にある条件を課したとき，爆発境界は特異性を持たないが，その傾きが，対応する特性曲線の傾きに関連する値に収束すること」について証明を完成させる．
次に，初期値を連続的に変化させたとき，爆発境界も連続的に変化するかどうかを考察する．爆発境界が連続的に変化した場合，この性質と爆発境界の傾きの，特性曲線の傾きに関連する値への収束性を組み合わせることで，「解が最初に爆発する時間と場所で，爆発境界が特異性を持つ」ことを示すことを目標として進めていきたい．先行研究では，このような爆発境界が存在することが，厳密解を用いてのみ示されていたが，なぜこのような爆発境界ができるのかは現時点では分かっていない．
放物型方程式の爆発問題の専門家である芝浦工業大学の石渡哲哉氏，及び変分構造を持つ波動方程式の爆発境界の専門家であるHatem Zaag氏と議論をしながら，研究を進める予定である．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大の影響で，セミナーや研究集会，学会の年会の中止，及び共同研究のための出張のキャンセルによる．また，中止ではなく来年度以降に延期された研究集会もあり，成果を発信するための予算を確保しておく必要がある．また，今後も新型コロナウイルス感染拡大の影響が出る可能性が高いため，オンラインで議論を進めるための物品も購入する予定である．
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