2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K13449
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| Research Institution | Kitasato University |
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Principal Investigator |
古谷 倫貴 北里大学, 一般教育部, 准教授 (40711792)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 禁止部分グラフ / 道被覆数 / 閉路被覆数 / ラムゼー型問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
禁止グラフ条件によって生成されるグラフクラスの把握を目指して，道被覆数と道分割数という２つのグラフ不変量に関するラムゼー型問題に着目した．既存のラムゼーの定理は，グラフの位数を十分大きくとったときに特定の誘導部分グラフが存在することを保証するものである．本研究成果は，この位数という不変量を道被覆数などに置き換えた場合に，保証される誘導部分グラフを特定したものである．言い換えれば，任意のグラフは小さい道被覆を持つか，特定の局所構造を持つということを保証したことになる．ラムゼーの定理がグラフ理論の様々な場面で用いられることを考慮すると，より詳細な構造を与える本研究成果も応用的側面から有用なものであると考えられる．また，対象とした２つの問題に現れる誘導部分グラフの差は有限種類（２種類）であり，これらの不変量に大きな差を与える本質的かつ直感的な構造を発見したと言える．
本研究課題の一環として既に支配数という不変量に関するラムゼー型問題を解決しているが，この値は星被覆数と等しいことが分かる．連結グラフに対するラムゼー問題では完全グラフ，道グラフ，星グラフという３種類のグラフが重要であることが知られており，それらのうちの２種類についてグラフの被覆問題を解決されたことになる．
本研究では上記の問題に加え，２頂点以下の連結グラフを閉路と見なした場合の閉路被覆数・閉路分割数についても同様の問題を解決した．更に，有向グラフにおける道分割数に関するラムゼー問題を考察し，必要であると思われる構造の列挙を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
大学における授業がオンラインとなり，その授業準備や諸業務に費やす時間が増え，研究に充てられる時間が大幅に削減されたため．また，研究集会への参加や共同研究が大きく制限され，情報交換や詳細な議論を行う機会が少なくなったため．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で述べた内容に関連して，完全グラフで被覆する問題が想定されるが，これはGyarfas-Sumner予想という未解決問題と関連するものである．そこで本研究で得られた技法を用いることで，この未解決予想にアプローチすることを目指す．また，道被覆数と道分割数の差を特定のグラフで表現したように，本研究の最終目標であった禁止グラフ条件の差の把握に，不変量の観点から知見を与えることを目指す．
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| Causes of Carryover |
参加を予定していた研究集会及び共同研究に伴う出張がすべて中止となったため，次年度使用額が生じた．次年度も同様に出張が予定通り実施出来ない可能性があるが，オンラインによる講演や打合せで必要となる物品の購入などに充てる予定である．
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