2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K13449
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| Research Institution | Kitasato University |
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Principal Investigator |
古谷 倫貴 北里大学, 一般教育部, 准教授 (40711792)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 禁止部分グラフ / ラムゼー型問題 / 道被覆数 / Gyarfas-Sumner予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き，禁止グラフ条件によって生成されるグラフクラスと不変量の関係性を把握するために，ラムゼー型問題に着手した．特に昨年度与えた道被覆数に関するラムゼー型問題の証明を精査することで，禁止条件が与えるグラフ構造の本質部分が明らかになった．また，本問題を再考する上で，誘導グラフによるいくつかの被覆数に対するラムゼー問題を解決するに至った．これは，誘導道やisometric道による被覆というグラフ理論における一般的な問題に対してラムゼー問題を考察したことに起因する．これらの問題は，昨年度与えた（誘導道とは限らない）道被覆とは異なるアプローチにより解決された．また同時期に，既に過去の研究で与えられていた星被覆問題の誘導グラフ版命題も得られた．
本研究ではこのような問題を考察するうちに，グラフ不変量に対するラムゼー型問題の最も重要な予想であるGyarfas-Sumner予想との関連性にたどり着いた．Gyarfas-Sumner予想は彩色数のラムゼー型問題に対する予想であり，その部分的解決は近年も数多く行われているものの，完全解決に向けた明確な方針は立っていないというのが現状である．ここで，彩色数は独立点による被覆の最小数と解釈できる．一方で，連結誘導グラフという観点からは，独立点は誘導道と誘導星の組で置き換えても類似の結果になりやすいということが，グラフ理論の諸性質により判明している．そこで本研究では誘導星道被覆数という新たな不変量を定め，そのラムゼー型問題に着手した．この不変量は彩色数の上界を与えることからも，そのラムゼー型問題の解決はGyarfas-Sumner予想の解決に向けた新たなアプローチになり得る．本年度は誘導道と誘導星の知識を基にその大部分の解決を行うことに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
昨年度に引き続き，コロナ禍での大学の諸業務に時間が割かれ，研究の時間を十分に確保することができなかった．また依然として，研究集会への参加や共同研究が制限されたことで，情報交換などが不十分であった．
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| Strategy for Future Research Activity |
コロナ禍による研究の遅れを理由として，本研究は期間を延長することになった．
研究実績の概要で述べたように，本研究で考察した各種不変量のラムゼー型問題は，Gyarfas-Sumner予想に関連する成果を与えるものである．そこで改めて，以前に本研究で得られた禁止グラフ条件の差の把握を精密化し，この予想に向けた新たな研究指針を与えることを目指す．
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| Causes of Carryover |
参加を予定していた複数の研究集会がオンライン実施となったこと，及び予定していた共同研究が行えなかったことにより，次年度使用額が生じた．次年度使用額は，オンラインにおける研究を遂行するための物品の購入と，延期されていた共同研究及び研究集会の参加に伴う旅費に充てる．
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