2020 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical modeling for understanding phyllotactic patterns and its geometrical study
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18K13452
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| Research Institution | SALESIAN POLYTECHNIC |
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Principal Investigator |
須志田 隆道 サレジオ工業高等専門学校, その他部局等, 講師 (00751158)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 葉序 / ボロノイ図 / 連分数展開 / 複素力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は第一に、米華真典氏(サレジオ工業高等専門学校専攻科)との共同研究として前年度に行ったハイパー4演算子による複素点列の点配置問題の研究を進めた。はじめに、クラスタ数が1つの場合に限定して、各点の原点からの距離の総和をエネルギー関数として定義したときの点配置問題を考えた。クラスタ数が1である場合の点列を作る複素数の集合は、単位円板内の複素数と対応させることができる。つまり、単位円板内の1つの複素数を固定すれば、クラスタ数が1であるハイパー4演算子による複素点列を得ることができる。単位円板内の複素数は絶対値と偏角をパラメータとするから、絶対値を0から1まで変化させたときに、偏角を変数とするエネルギー関数においてエネルギー値が最大になる偏角の値を数値的に示し、分岐曲線を得ることができた。特に、単位円板内の原点近傍におけるエネルギー関数の形状が単峰性をもつことを示した。第二に、一般アルキメデス螺旋格子のボロノイタイリングにおいて定義されるParastichy numberが回転角の連分数展開の近似分数の分母であることを示すために必要な位相幾何学的な手法の基盤となる補助定理の証明を整理した。第三に、山岸義和氏(龍谷大学)との共同研究である回転対称性をもつ対数螺旋格子のボロノイタイリングと円板充填において、それぞれにおいて定義されるParastichy numberが回転角の連分数展開の近似分数の分母であることを示し、円板充填におけるParastichy numberの分岐図がボロノイタイリングの分岐図とグラフ理論的な双対関係にあることを示した。さらに、Parastichy transitionにて出現する四角形ボロノイタイリングにおける四角形タイルの極限形状について、回転角が黄金比に対等な無理数であれば正方形であることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
第一に、山岸義和氏(龍谷大学)とJ-F Sadoc氏(パリ第11大学)との共同研究である一般アルキメデス螺旋格子のボロノイタイリングにおけるボロノイ多角形の面積収束に関する研究については投稿済みである。一方で、一般かアルキメデス螺旋格子のボロノイタイリングの幾何学的な性質を網羅的に整理した論文に関しては投稿状態ではないため、前年度に引き続き最優先課題として取り組む。第二に、山岸氏との共同研究である回転対称性をもつ対数螺旋格子のボロノイタイリングと円板充填の研究に関しても論文としてまとめた。第三に、ハイパー4演算子の複素点列に関するエネルギー関数を用いた点配置問題に関しては、クラスタ数が1の場合のみであるが、数値計算によるエネルギー関数の分岐曲線および原点付近でのエネルギー関数の数学的な評価に関する成果について、現在論文としてまとめている段階である。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度は、第一に、一般アルキメデス螺旋格子のボロノイタイリングに関して今年度に得られた位相幾何学的な証明を遂行するための補助定理を用いてParastichy numberに関する基本的な性質を整理し、論文としてまとめることに取り組む。第二に、葉序の螺旋パターン形成に関する先行研究の数理モデルの解析および数値計算を行い、研究計画通りに新たに数理モデルを構築し、葉序の幾何学モデルの分野で議論されてきた点配置が獲得される要因を探究する。第三に、ハイパー4演算子による複素点列においてエネルギー関数を用いた点配置問題を数学的ないし数値計算的に扱い、これまでに得られた成果を論文としてまとめることに取り組む。これまではクラスタ数が1の場合に限定されていたため、クラスタ数が2以上の場合についての理論の拡張についても研究を行う。さらに、Levitov(1991)らの先行研究などで示されたエネルギー関数について、分岐曲線が示す偏角の収束先に関する研究を行う。
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| Causes of Carryover |
今年度は数理モデル(バーテックスモデルや反応拡散方程式など)のパラメータ探索や高速計算を可能にする並列分散処理を円滑に進めるためのネットワーク整備に研究費を支出した。また、論文の図表を描画するためやデータの解析に必要なMathematicaやAdobe Illustratorの購入に充てた。しかし、今年度はオンライン化に伴い、学会参加や研究議論のための出張費の支出を行うことがなかった。次年度の状況にも依るが、学会参加や研究議論のための出張費に充てる予定である。
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