2018 Fiscal Year Research-status Report
双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算理論の研究
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18K13453
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 一次元変数係数移流方程式 / 精度保証付き数値計算 / C0半群 / スペクトル法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は双曲型偏微分方程式の解の数値的存在検証を実現するため、本研究の基盤となるスペクトル法による精度保証付き数値計算方法を検討し、以下の成果を得た。典型的な双曲型偏微分方程式である変数係数移流方程式に対して、空間変数をフーリエ級数、時間変数をチェビシェフ級数で構成した近似解をもとに、近似解の厳密な誤差評価を点列空間上で定義された閉作用素が生成する半群の評価を使って導いた。点列空間上での半群の生成は非自明な問題であるため、半群生成の必要十分条件であるルーマー-フィリップスの定理（ヒレ-吉田の定理）の十分条件の成立を確かめる事で、点列空間上のある閉作用素が半群の生成作用素である事を示した。そして消散作用素の評価から来る半群の評価を用いて、スペクトル法をもとに数値計算で得られた近似解の厳密な誤差評価式を導出した。この誤差評価式は区間演算を基盤とした精度保証付き数値計算により定量的に評価可能である特徴をもつ。
スペクトル法による精度保証付き数値計算方法として、ある非線形時間発展方程式に対する解の精度保証付き数値計算方法も検討中である。スペクトル法の非線形問題への適用には、係数の畳み込みを避ける事が出来ず、畳み込み演算をいかに効率よく計算するかが重要となってくる。畳み込み演算の効率的な計算方法として、離散フーリエ変換を用いる方法があり、高速フーリエ変換のアルゴリズムにより高速に計算する事が可能である。しかし、実際の計算ではエイリアシングエラーなどの各誤差を正確に制御する事が必要であり、これらを考慮した畳み込み演算を実装した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
典型的な双曲型偏微分方程式である変数係数移流方程式に対する解の精度保証付き数値計算が実現できた、この成果を足掛かりに非線形問題へと適用していく事を検討する必要がある。非線形問題への適用には畳み込み演算の効率的な実装と、不動点定理を利用するための定式化が必要であり、今後の課題が残っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
非線形問題へ取り組む。そのために、非線形放物型方程式である非線形熱方程式の複素時間領域における解の挙動を精度保証付き数値計算で追跡できる方法を考案中である。これにより、スペクトル法を効果的に利用した非線形問題への精度保証付き数値計算手法を確立し、双曲型偏微分方程式への応用を試みる予定である。双曲型方程式の最大の問題は半群の評価に縮小性が現れない事であり、これを数値計算による定量的アプローチと保存量などを利用した理論的アプローチの融合により解決する事が今後必要になると予想される。
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Research Products
(20 results)
