2019 Fiscal Year Research-status Report
双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算理論の研究
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18K13453
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | スペクトル法 / 精度保証付き数値計算 / 簡易ニュートン写像 / 発展作用素 / Lyapunov-Perronの方法 / 解の時間大域存在 / 計算機援用証明 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、本研究の基盤となる空間変数をフーリエ級数、時間変数をチェビシェフ級数で構成するスペクトル法による精度保証付き数値計算方法を非線形問題へ適用した。具体的には、非線形熱方程式の時間変数を複素数に拡張した複素数値非線形偏微分方程式の解が、適切なバナッハ空間上に定義された簡易ニュートン写像を用いて、スペクトル法で構成した近似解の近傍に局所存在することを計算機援用証明した。昨年度の成果で点列空間上での半群の生成理論と、スペクトル法で離散化した常微分方程式系に対する変分方程式の解の精度保証付き数値計算を組み合わせ、点列空間上での発展作用素の生成を数値的に証明し、その発展作用素の時間一様評価を精度保証付き数値計算によって得て、簡易ニュートン写像の縮小性を数値的に検証できるよう定式化することに成功した。本手法を利用すると非線形時間発展方程式の厳密な数値求積が実行可能となり、解のふるまいを数値計算で得た近似解の近傍に厳密包含しながら時間発展させることができるようになる。さらに半群の評価とLyapunov-Perronの方法によって解の時間大域存在を検証可能な捕捉領域が定量的に構成可能になり、厳密な数値求積で解が捕捉領域に包含されることを示せば、与えられた初期値から解が時間大域存在する事を計算機援用証明できる。
上記成果は、非線形放物型方程式を対象としているが、より一般的な方程式に拡張可能である。一例として、分散型方程式である非線形シュレディンガー方程式の厳密な数値求積が実現している。双曲型方程式の解の数値的存在検証のために、今年度の成果を応用する事が可能であると考えている。以上を踏まえて、次年度以降は非線形双曲型方程式を対象に研究を遂行する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算の実現のため、非線形問題への一つのアプローチ方法を作ることができた。現段階では、放物型方程式を対象としているが、分散型などの方程式へ拡張可能であることが示されており、今後双曲型への拡張が課題である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の成果を双曲型偏微分方程式に拡張する事に取り組む。そのためにスペクトル法を効果的に利用した精度保証付き数値計算手法が双曲型偏微分方程式へ応用できる事を例証し、さらにより一般的な時間発展方程式へ拡張できる方法である事を示す予定である。放物型方程式と双曲型方程式の一番の違いは、半群（あるいは群）の評価に減衰の効果が無い事で、不動点定理を利用する際に致命的になる。一方で、今回の手法は簡易ニュートン写像を用いた検証方法であり、写像そのものに縮小性が期待できるため、時間局所的には克服可能だと予想される。
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