2020 Fiscal Year Research-status Report
双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算理論の研究
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18K13453
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 非線形シュレディンガー方程式 / 解の時間大域挙動 / 無限次元力学系 / Parameterization method / 計算機援用証明 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までに確立したスペクトル法による非線形偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算方法を利用し、分散型に分類される非線形シュレディンガー方程式の厳密な求積方法を構築した。そして無限次元力学系を理解する道具である、Parameterization methodおよび時間大域存在の数理解析手法と組み合わせることで、ゲージ不変性をもたない非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動を計算機援用証明によって明らかにした。具体的には、
1)非線形シュレディンガー方程式が自明解である零解から零解へのホモクリニック軌道が存在すること、
2)非線形シュレディンガー方程式の非自明な平衡解の族が存在すること、
3)非自明な平衡解と零解をつなぐヘテロクリニック軌道が存在すること
を計算機援用証明した。特に、定数に十分近い初期値からの解の時間大域存在を証明する十分条件を計算機で検証可能にした結果は、非線形シュレディンガー方程式に対する新しい解析結果である。本研究は双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算の基盤構築およびその応用成果と位置づけられ、原理的には非線形双曲型偏微分方程式に応用可能である。本研究で得られた、Parameterization methodによる平衡解近傍の不安定多様体の厳密包含、非線形時間発展方程式の解の厳密な数値求積、時間大域存在の検証可能な捕捉領域の構築の3つの手法は無限次元力学系を理解するための強力な道具であり、今後の発展が期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算のために、分散型と呼ばれるクラスの偏微分方程式の厳密な求積法を開発した。本方法のアプローチは原理的に双曲型方程式へ拡張可能であり、今後非線形双曲型偏微分方程式に対する計算機援用証明の有効な道具となる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究成果である無限力学系に対する3つの精度保証付き数値計算手法をより一般的な方程式に拡張する。一例として、非線形消散波動方程式が考えられる。分散型方程式と同様に双曲型方程式ではC0-(半)群の評価に拡散構造が現れないため、解の厳密な求積が難しいことが予想される。この困難点に対して、解の減衰レートに合わせた適切なスケール変換により散逸的ふるまいを明確にし、精度保証付き数値計算で捉える方法を提案する。この方針は非線形シュレディンガー方程式の解の大域存在を示す際に利用したものの応用である。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍における国際学会の中止および国内学会のオンライン化に伴い、一時的に旅費の支出が生じなかったことが主な理由である。次年度では国際学会がオンラインながら開催する予定があり、参加費等で支出予定である。さらに、オンライン中心の研究活動のノウハウが溜まりつつあり、研究会の主催や講演の招聘などを次年度は予定している。
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