2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K13455
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
榊原 航也 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (30807772)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Hele-Shaw問題 / 構造保存型数値解法 / 基本解近似解法 / 一様配置法 / 曲率依存型配置法 / 点渦力学系 / 極小曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，基本解近似解法に基づいた流体方程式に対する高精度数値解法を構築することを目標としている．本年度は，Hele-Shaw問題ならびに点渦力学系に対して，以下の通り進捗を得た．
（1）矢崎成俊氏（明治大学）との共同研究により，Hele-Shaw問題に対して，漸近的な意味で幾何学的変分構造を保存する数値解法を構築することに成功した．また，以前に考えられていた，境界条件の修正により真に幾何学的変分構造を保存する数値解法は，実際にはうまく機能しないことも確認できた．さらに，応用先の拡張という観点では，古典的なHele-Shaw問題以外にも，例えばセルの間隙が時間変化する問題に対しても，体積保存を満たす数値解法を構築することに成功した．更には，この数値解法を修正しつつ，Hele-Shawセル内の磁性流体の指状不安定性を調べるための研究も開始した．更に，数学解析の観点では，運動のクラスをクリスタライン運動に限定した時に，解が時間局所的に存在することを証明した．
（2）清水雄貴氏（京都大学）との共同研究により，境界付き多様体，より具体的には極小曲面の境界と標準領域の境界の間の対応が事前に分かっている場合に，基本解近似解法に基づいた高速・高精度な数値解法を構築することに成功した．また，回転体として得られる多様体上では，流体力学的Green函数が解析的に得られるが，その場合に，渦環などの厳密解と数値解との挙動が一致することも示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Hele-Shaw問題については，幾何学的変分構造を保存する数値解法を構築し，更に適用範囲を拡張することに成功した．
点渦力学系については，当初の研究計画通りに，基本解近似解法に基づいた流体力学的Green函数，Robin函数，Hamiltonianの構成に成功した．
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| Strategy for Future Research Activity |
Hele-Shaw問題については，数値解法の適用範囲の拡大とともに，その数学解析にも取り組み始める．
点渦力学系については，極小曲面に対応する標準領域の数値計算法を調べ，より広いクラスに対応できる数値解法の構築を目標とする．
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| Causes of Carryover |
当初は，研究に必要となる計算機環境を整える予定であったが，その必要がなくなった．そこで，そこで計上していた費用の半分を旅費に回し，より積極的に情報収集を行うことにしたために，次年度使用額が生じた．
次年度は，この繰り越した費用を有効活用し，積極的に情報収集する予定である．
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