2019 Fiscal Year Research-status Report
流体問題における粘性係数依存性を克服する有限要素スキームとその高速求解法の確立
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18K13461
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
内海 晋弥 学習院大学, 理学部, 助教 (90801176)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 圧力安定化法 / 変形エルミート要素 / 混合有限要素近似 / ストークス方程式 / クリロフ部分空間法 / 滑らかな領域 / ラプラシアンの固有値の包含 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ストークス方程式に対する，圧力に変形エルミート要素を用いる混合有限要素を新たに作成し，以下に述べる有効性を見出した．
(i) 流体の運動を記述する一つのモデルとなるストークス方程式に対する有限要素法を考える．これまで流速にラグランジュ2次要素，圧力にラグランジュ1次要素（P2/P1要素）を用いる混合有限要素近似が広く使われていたが，有限要素解の誤差は粘性係数の小ささに大きく依存していた．前年度までに，報告者は流速と圧力双方にラグランジュ2次要素を使い，安定化項を加える手法（P2/P2安定化法）を定式化し，粘性係数の小ささに対しロバストであることを理論と数値実験で報告していた．しかし，離散化により導かれる連立一次方程式をあるクリロフ部分空間法で解いたときに，P2/P1要素を使う方法より収束に要する反復回数が多いことが難点であった．今回，圧力にラグランジュ2次要素に代わり変形エルミート2次要素を使い，安定化項を加える手法を新たに提案し，実装し，数値実験を行った．粘性係数に対しロバストであることはP2/P2安定化法と変わらず，反復回数はP2/P1要素を使う方法と同等となった．
(ii) 応用上，境界の一部が曲線となる領域において有限要素近似を考えることが求められる．曲線で囲まれた領域において斉次ディリクレ境界条件と斉次ノイマン境界条件を課したラプラシアンの固有値の包含法を新たに提案し，その包含を得るための区間演算を行うプログラムを実装した．これまでにLiu-Oishiにより多角形領域に対して提案されていた固有値の包含法に，Zlamalの曲有限要素空間を組み合わせることにより，そのような領域において，固有値の存在範囲の上界と下界を陽に計算することが可能になった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度報告書の「今後の研究の推進方策」に挙げた「離散化の方法の見直し」を推進し，プログラムの作成を行い，数値実験によりその有効性を検証できた．応用上必要になる，曲線で囲まれた領域における構成的な誤差評価を新たに提案し，区間演算を使ってプログラムを実装した．これらのことより，(2)おおむね順調に進展している，と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究を関連する研究と，特に計算効率の面で比較し，ナヴィエ・ストークス方程式への拡張を含めてまとめる．本年度に提案した混合有限要素と安定化項を使った定式化について，下限上限条件の意味での安定性など，理論的な面を調べる．ストークス方程式に対して得た結果を，これまでの報告者による研究と組み合わせることにより，ナヴィエ・ストークス方程式の有限要素近似に適用範囲を広げ，誤差挙動と計算効率を見る．Scott-Vogelius 要素やgrad-div安定化項を使う既存の研究と，有限要素近似から導かれる連立一次方程式に対する反復法の計算効率を比較する．さらに，その連立一次方程式によく適合する前処理を選択あるいは作成する．
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| Causes of Carryover |
予定していた消耗品購入をとりやめたため，差額が生じた．次年度の物品費に使用する．
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