2019 Fiscal Year Research-status Report
精度保証付き数値計算法を用いた反応拡散系の大域解の解析
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18K13462
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
水口 信 早稲田大学, 理工学術院, 講師(任期付) (90801241)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 反応拡散系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究である「精度保証付き数値計算を用いた反応拡散系の大域解の解析」にはできる限り長い時間において解が検証できる手法を考察する必要がある. 精度保証付き数値計算法では計算されてでてきた値によって解の検証が成功するかしないかが決まってしまう.そのため今年度も引き続きその手法構築のための準備段階として「定数評価」をメインに研究した. さらに反応拡散系の精度保証法実現のための評価についてpdeの応用や半群理論を用いた方法など色々模索をしてきた.
今年度は特に半線形方程式の精度保証法で用いる評価式であるL^2H^1評価とL^2L^2評価に着目した. それらの評価法は方程式の精度保証法の逆作用素ノルムの存在と計算可能な評価法を実現させるために不可欠なものである. 逆作用素の存在を検証するには近似解の精度によって変わる計算可能な定数が必要であり, その定数が小さければ小さいだけ検証できる可能性が高くなる.L^2H^1評価とL^2L^2評価の改善はその定数の値の小ささに直結しているため, それらのシャープな評価法を考えればより効率的に逆作用素ノルムの存在とその評価の改善をもたらすことに貢献できる.本研究においてその定数評価の改善法をもたらした. L^2H^1評価は近似解の滑らかさと半線形熱方程式の半離散近似の定義をうまく使うことよって先行研究の評価よりもシャープな評価式が導出できた. さらにL^2L^2評価は楕円型方程式のオーバンニーチェの不等式の証明を半線形熱方程式に拡張させて, さらに半離散近似の性質を用いることで評価の改善ができた.
今はその成果をまとめているところである.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目的通り今年度も反応拡散系の精度保証付き数値計算法の改善法の候補を模索し色々研究をしてきた. その過程で本課題の微分方程式の精度保証法の逆作用素ノルムの存在と計算可能な評価法をより効率よく求めるため, 現在線形熱方程式の精度保証法で用いられている主な評価式であるL^2H^1評価とL^2L^2評価に着目し,その改善のための手法を提案した.その手法により微分方程式の精度保証の改善に貢献でき研究課題の手法構築の下準備ができつつある.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度も反応拡散系の精度保証付き数値計算法の改善法に取り組んできた.今年度の研究により線形熱方程式の精度保証法のために用いる評価式L^2H^1評価とL^2L^2評価の改善手法と前年度で述べたodeの手法なども絡めて目的達成の精度保証法構築のために一番効率がよさそうな手法を具体的に練り上げていく予定である.その手法の構築や研究の過程においてにさらなる精度保証法の改善方法を考えてよりよい方法が生まれればそちらの方に更新していく所存である.
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| Causes of Carryover |
今年度も昨年度と同じく精度保証の手法を構築する足掛かりを見つけるうえで必要になりそうなあらゆる分野の書物や思いついた手法を実装するテスト用の高性能なpcを購入する予定であった.また今年度は研究出張や論文を投稿する予定があったためその分の費用(投稿料など)も考慮していた.
しかし, 新型コロナウイルスの影響などにより出張中止や論文の進行状況の遅れにより支出額が予定より少なくなってしまった.来年度はその遅れ分の支出が見込まれるためさらに次年度は持ち越すことを決めた.今のところ研究に支障はない.
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