2018 Fiscal Year Research-status Report

不均一性をもつ双安定な反応拡散方程式における局在解のダイナミクスの解明

Research Project

Project/Area Number	18K13463
Research Institution	Kyoto Sangyo University
Principal Investigator	西慧京都産業大学, 理学部, 助教 (40774253)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2022-03-31
Keywords	反応拡散方程式 / パターン形成 / 分岐理論
Outline of Annual Research Achievements	3変数の双安定反応拡散方程式における空間局在解(パルス解やスポット解)のダイナミクス、およびそのメカニズムを分岐理論の観点から明らかにする。平成30年度は、パルス解のダイナミクスを解析するため、元の3変数反応拡散方程式から低次元系への縮約を行った。特に、パルス解の2つの界面が十分離れており、かつ非常にゆっくり運動するという仮定のもとで、パルス界面の運動を記述する4次元の常微分方程式を導出した。得られた縮約方程式に対してパラメータを変えながら数値計算を行うことで、定常パルス解が不安定化し、安定な脈動パルス解、進行パルス解、脈動進行パルス解が現れることを明らかにした。さらに線形安定性解析や、分岐解析ソフト等を援用することで、これらの解の大域的分岐構造も明らかにした。また、数値計算の結果、パラメータにジャンプ型の空間非一様性がある場合には、これまで知られていなかった振る舞い(ジャンプ点付近にトラップされる振動パルス解)が現れることが分かり、その安定性や分岐構造などを調べた。これらの成果は、7月に北海道で開催された国際研究集会、および 3月の日本数学会2019年度春季総合分科会において口頭発表した。また、これに先行して欧文学術誌に投稿していた2変数の双安定反応拡散方程式のパルスダイナミクスに関する論文が、3月末に受理された。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason パルス解の振る舞いを記述する縮約方程式(4次元の常微分方程式)が得られたことで、様々な非一様性に対して数値実験を行うことがより容易になり、新たなダイナミクスの探索と解析が加速することが期待される。
Strategy for Future Research Activity	平成31年度には、ジャンプ型の非一様性で見られる振る舞いのより詳細な解析を進めるとともに、ジャンプ型以外の非一様性についても反応拡散方程式および縮約方程式を用いた探索を行い、3変数系における、双安定パルス解と非一様性の相互作用により誘引されるダイナミクスの包括的な理解を目指す。また、国内の研究者との共同研究も継続し、空間一様な系で見られる、3変数以上に特有の解の探索、およびその形成メカニズムの解明にも取り組む予定である。
Causes of Carryover	平成30年度の直接経費60万円のうち、物品購入(iMac 2台)で52万円、出張費(国内1回)で6万円を支出しており、おおよそ2万円分が残ったが、3月の出張旅費(約5万円)に足りなかったため、そちらは校費から支出することとした。今年度残った2万円は次年度の出張費に充てる予定である。