2020 Fiscal Year Research-status Report
不均一性をもつ双安定な反応拡散方程式における局在解のダイナミクスの解明
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18K13463
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
西 慧 京都産業大学, 理学部, 准教授 (40774253)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 局在パターン / 分岐理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
3変数FitzHugh-Nagumo型反応拡散方程式における空間局在解(パルス解やスポット解)のダイナミクス、およびそのメカニズムを分岐理論の観点から明らかにする。本年度は前年度に引き続き、方程式に含まれるパラメータの符号がα>0, β<0 という条件下での空間１次元のパルスダイナミクスについて調べた。この条件下では、α>0, β>0 の場合とは異なり、 解のプロファイルが上下反転した2種類のパルス解が共存し、時定数を変えたときにみられるこれらの解の振る舞いも、パラメータγの符号によって変わることが詳細な数値計算により明らかになった。その理由を調べるため、パルス界面の運動を記述する3次元の常微分方程を導出し、分岐解析ソフトも援用してγの値を変えたときの分岐構造の変化を調べた。その結果、まずγ≧0 の場合は、進行パルス解の複合分岐がα>0, β<0 とα>0, β≧0 における解構造の違いに大きく関わっていることが分かった。またγ<0 では γ≧0 にはない新たな定常パルス解、および進行パルス解が出現することで、分岐構造が大きく変わることも分かった。これら縮約方程式から得られるパルス解の大域的な分岐構造をもとに、PDEでみられる上記の数値計算結果のメカニズムを説明した。これらの成果を、３月に開催された日本数学会2021年度年会(オンライン開催)において口頭発表した。また、α>0, β<0 という条件下では、2つのパルスから構成される連結パルス解が現れることが知られているが、数値計算の結果、３つ以上のパルスから構成される解も存在することが明らかになった。その解析を行うため、一般にN個のパルスから構成される場合の界面の運動方程式を導出し、N=3の場合で数値計算結果を定性的に再現することを確かめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度の研究で空間一様な系でみられるパルス解の詳細な解構造が明らかになり、とりわけ organizing center の存在が示唆されたことで、解構造の変化を統一的に説明できる可能性が示唆され、また多重連結パルス解の存在が確認されるなど、研究が新たな方向へ進展する可能性が出てきたが、一方で当初の目的であった空間非一様性との相互作用ダイナミクスについては、ジャンプ型の場合の解析を行って以降、中断している状況である。また、論文の執筆も遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは空間一様な場合について、これまで得られた結果を次年度内に論文にまとめる。この方向でのさらなる解析 (複合分岐点、特に organizing center における中心多様体縮約) と並行しながら、中断していた空間非一様な系のダイナミクス、および2つのパルスからなる連結パルス解のダイナミクスの解析を進める。また余裕があれば、一般のN個のパルスからなる連結パルス解についてもダイナミクスの数値的探索や縮約方程式の解析を行う。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスにより、研究集会等が中止、もしくはオンラインでの開催となり、出張旅費の支出を行わなかったため。また、新たな物品の購入も行わなかったため。次年度も出張が困難な場合、空間２次元の数値計算用の計算機の購入に使用する予定である。
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