2018 Fiscal Year Research-status Report
Computational complexity of quantum many-body problem in terms of Tensor Network formalism
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18K13475
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| Research Institution | Institute of Physical and Chemical Research |
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Principal Investigator |
桑原 知剛 (桑原知剛) 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (70757773)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 量子多体系 / 情報理論 / 量子情報 / 計算複雑性 / トポロジカル秩序 / 量子シミュレーション / 量子ギブスサンプリング / エントロピー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では量子多体系と情報理論を繋ぐ数学の予想に取り組んでいる。より詳細には、以下の３つの数学的問題に取り組む：(i) エンタングルメントエントロピーのarea law予想、(ii)ギブス状態に関する量子マルコフ予想、(iii) Local Hamiltonian problem (LHP)の計算複雑性クラスの解析。これらの問題は量子アルゴリズムの根本的な制約と密接に関連しており、量子コンピュータの能力に関する深い理解を提供する。初年度において、申請者は問題(ii)に関して成果を上げています。
量子マルコフ予想は、温度パラメータを含む量子ギブス状態（または量子ボルツマン分布）の条件付き相互情報量が距離と共に指数的に減衰するという予想である。この予想は、古典ギブス分布に関する有名なHammersley-Cliffordの定理の量子版に対応しており、量子ギブス分布と近似マルコフネットワークの等価性を与える。これは、量子メトロポリスサンプリングの効率、室温でのトポロジカル量子メモリの安定性、および量子PCP予想などのような幅広い分野での未解決問題に関連しています。本年度の主要成果として量子マルコフ予想が温度閾値以上で真あることを証明した。我々の結果は一般的グラフ上のギブス状態に適用可能であり、この温度閾値の具体的に決定することに成功した。我々の結果をもって、量子マルコフ予想は閾値温度以上で完全に解決されたことを意味する。この結果は、カリフォルニア工科大学のFernando BrandaoとKohtaro Katoとの共同成果となっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
４年間の研究計画の中で、以下の3つの主張を証明することを目指している。
(i）長距離相互作用をもつスピン鎖上の非臨界の基底状態においてarea lawを証明する。
(ii）任意の温度における有限次元格子上の量子ギブス状態に関して近似マルコフ性を証明する。
(iii）Dense graph上のLocal Hamiltonian ProblemがNPであることを証明する。
これらの問題に対して、初年度の段階で(i)の問題に対する主要アイデアを得ることができ、また(ii)に関して閾値温度以上で一般的に証明することに成功している。(ii)に関して一般温度以上への拡張についても指針を得ており、今年度中に解決できると期待している。現時点でのペースで移行できるのであれば、来年度までに全ての問題が解決できると期待している。
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| Strategy for Future Research Activity |
４年間の研究計画を再びあげると、以下の3つの主張の証明があげられる。
(i）長距離相互作用をもつスピン鎖上の非臨界の基底状態においてarea lawを証明する。
(ii）任意の温度における有限次元格子上の量子ギブス状態に関して近似マルコフ性を証明する。
(iii）Dense graph上のLocal Hamiltonian ProblemがNPであることを証明する。
今年度は以下の２つの問題を解決する。(i）長距離相互作用をもつスピン鎖上の非臨界の基底状態においてarea lawを証明する。(ii）初年度に得られた量子マルコフ予想に関する閾値以上での結果を一般温度に拡張する。
研究の推進に際して、初年度と同様にカリフォルニア工科大学のFernando Brandao氏とKohtara Kato氏と連携していく予定である。特に、(ii)での主張を用いて、有限温度下におけるトポロジカルメモリの安定性に関する数学的な定理を得ることを目指していく。
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| Causes of Carryover |
理由の一つ目は、カリフォルニア工科大学に滞在する費用を他の研究費によって充填することができたことが挙げられる。また、スタートアップで必要となるノートパソコン等の物品を申請者の所属する理研AIPから支給されたことが二つ目の理由となる。最後に、大規模数値計算に必要なMAC Proを購入する予定であったが、現時点でその段階に達していないこともあり次年度以降に費用を繰り越すことになった。
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