2019 Fiscal Year Research-status Report
線形反復ソルバーに対する平滑化技術の革新と最適化アルゴリズムへの応用
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18K18064
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| Research Institution | Tokyo City University |
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Principal Investigator |
相原 研輔 東京都市大学, 知識工学部, 講師 (70735498)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 大規模連立一次方程式 / 線形行列方程式 / クリロフ部分空間法 / 積型Bi-CG法 / 平滑化技術 / 丸め誤差解析 / 一般化シュティーフェル多様体 / レトラクション |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度は，前年度に得られた線形反復ソルバーに対する新しい平滑化技術について，その汎用性を高めるためのアルゴリズムの拡張に取り組んだ．具体的には，従来は標準的な連立一次方程式のみを対象としていたが，その拡張にあたる線形の行列方程式（例えば複数の右辺項を持つブロック型の線形方程式）に焦点を当て，これに対する反復ソルバーへの平滑化技術の適用を行った．研究成果の一部は，日本応用数理学会2020年研究部会連合発表会において発表した（学会中止につき見なし発表）．現在，丸め誤差の解析など詳細をまとめた学術論文を執筆中であり，今後，査読付きの国際ジャーナルに投稿予定である．
また，標準的な連立一次方程式に対しては，積型Bi-CG法と呼ばれる反復ソルバー群について，既存の代表的なアルゴリズムを統合した新しいフレームワークを構築した．研究成果は，2019年7月にスペインで開催された国際会議ICIAM2019で口頭発表を行ったとともに，関連する内容をまとめた論文が学術雑誌 Numerical Linear Algebra with Applications にて公開されている．この成果は反復ソルバーの発展に寄与するもので，平滑化技術そのものの改良には当たらないが，新しいフレームワークに対しても平滑化を適用できるため，既存の個々のアルゴリズムに対して個別に適用する必要がなくなるという相乗的な利点がある．
一方，リーマン多様体上の最適化アルゴリズムに関しては，前年度に得られた一般化シュティーフェル多様体上のレトラクションの改良に対して，そのアルゴリズムが数値的に安定であることを示唆する理論を構築した．この成果と併せて，これまでの研究成果の普及を図るため，分野の異なる複数の学会にて研究発表を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の一つである，行列方程式に対する反復ソルバーへの平滑化技術の適用に関して，想定していた理論が概ね構築できたため．また，関連する反復ソルバーの拡張や最適化アルゴリズムの研究についても，一定の成果が得られたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度の研究に続いて，行列方程式に関連する平滑化技術について，詳細を学術論文としてまとめ，確固たる研究成果として発表することを目標とする．また，反復ソルバーの新しいフレームワークに関しては，平滑化のみならず，多角的な視点から高速化と高精度化を目指して研究を進める．さらに，最適化アルゴリズムについても，平滑化技術との併用や統計手法などへの応用について引き続き検討を行う．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染症の影響により，2019年度末に予定されていた学会が中止となったため，当初の予定から旅費に関する未使用額が生じた．差額分は2020年度に請求した助成金と合わせて，今後，物品費や国内外の学会等で研究発表を行うための費用として使用する予定である．
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