Supersingular representations of p-adic groups

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K18707
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 阿部 紀行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00553629)
• Project Period (FY): 2018-06-29 – 2021-03-31
• Keywords: p進簡約群 / 超特異表現

Outline of Annual Research Achievements

p進群の法p表現論の研究を行い，その成果により法p Langlands対応への貢献を行うことが本研究の目的である．単純に表現論の問題として捉えた場合，最も基本的な問題は既約表現の分類となる．私は以前にG. Henniart（パリ南大学），F. Herzig（トロント大学），M.-F. Vigneras（ジュシュー数学研究所）との共同研究により，既約許容表現の分類を既約許容超特異表現の分類に帰着させる定理を得ている．従って，既約許容超特異表現の分類が問題となる．
しかしながら，超特異表現については現状殆ど何もわかっていない状況である．p進数体上のGL(2)の場合にはBreuilによる分類があり，理解が進んでいる．しかし，それを超えた場合は超特異表現についてはほぼ何もわかっていないと言ってもよい．
今年度は，Paskunasによるとある既約許容超特異表現の存在証明をもとにして，より具体的に既約許容超特異表現を構成することができないかを試みた．具体的には，GL(2)の極大コンパクト部分群の群環の双対のスムーズ部分にGL(2)自身の作用の定義を書くことができないかを試みた．単純な存在定理としては，Paskunasによる議論によってGL(2)の作用が存在することはわかっている．今年度は，その作用を（一つでよいので）具体的に書き下すことを試みた．
p進体上のGL(2)はp進体の元を成分とする二次の正方行列である．従って行列として具体的に元を書き下すことができる．この方法に基づき，また種々の分解定理と照らし合わせて具体的な計算によりGL(2)の作用を与えることができないかを試みた．これに関していくつかの形を得ることができたが，まとまった定理は得られなかった．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

今年度の計算を行う上でのおおまかな指針はPasukunasによる議論のみであり，それ以上の部分は自身でうまく計算をまとめあげるしかない．一年目の基礎となる計算としては，今年度行った計算は意味がある．

Strategy for Future Research Activity

今年度の計算をさらに推し進める．また有限群（有限体上の簡約群の有理点のなす群）や簡約群の代数的な表現の理論を組み合わせていくことも試みる．もともとそのような表現論と今年度行ったような計算が関することはわかっていたのだが，今年度は別の研究として簡約群の代数的な表現論に関する組み合わせ論的な結果を得た．そのような結果をこちらの計算に組み込めないかを検討する．

Causes of Carryover

他経費との組み合わせにより旅費などを節約することができたため．