2019 Fiscal Year Research-status Report
Supersingular representations of p-adic groups
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18K18707
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
阿部 紀行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00553629)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2021-03-31
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| Keywords | p進群 / 超特異表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究はp進群の法p表現を調べることで，法p局所Langlands対応へと貢献をすることをその目的とする．特に，未だ殆どわかっていない超特異表現の解明をその目的とする．
p進群の既約許容表現は，そのHecke固有値により，その特異性が定まる．その中でももっとも特異な表現を超特異表現と呼ぶ．現段階では特異でない表現の理解が進んでおり，例えばもっとも特異でない表現は主系列表現の部分商として表せることが知られている．更にそれを拡張して，任意の既約許容表現は超特異表現からの放物型誘導表現の部分商として得られることが知られている．これはもともとはGL_2の場合にBarthel-Livneが示したことだが，一般の簡約群に対しては私とFlorian Herzig，Guy Henniart，Marie-France Vignerasの共同研究で示された．特に，p進簡約群に対する既約許容法p表現の分類は，既約超特異許容法p表現の分類へと帰着する．一方，超特異表現の理解は殆ど進んでいない．その理解を少しでも深めることが本研究の目標である．
そのためには，PaskunasやBreuil-Paskunasの研究によれば，コンパクト開部分群の表現を調べることが重要である．コンパクト開部分群の既約表現は（適当な条件下で）代数群の代数的な表現から来る．今年度はそれに関する研究を行った．近年の研究から，そのような表現はHecke圏と呼ばれる対象により支配されることがわかりつつある．今年度は，簡約群Gに対してそのFrobenius核の表現圏にHecke圏の作用を与えることに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
超特異表現の研究には有限体上の簡約群の有理点の表現論が重要であることは認識していたのだが，今年度はそれに関わる代数的な表現に関する結果を得ることができた．しかも，その結果は表現論の細かな構造を計算するのに都合の良い枠組みであると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に得られた，代数群の表現に関する定理を，とくに小さな群に対して注意深く調べることで，超特異表現の研究に必要なデータを取り出し，その解明を行う．
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| Causes of Carryover |
他経費との組み合わせにより主に旅費を中心に節約をすることができたため．次年度は主に旅費として利用する予定である．
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