2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K18708
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
宮本 雅彦 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (30125356)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
千吉良 直紀 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (40292073)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2021-03-31
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| Keywords | 有限群 / 表現論 / 頂点作用素代数 / 軌道理論 / 自己同型群 / ムーンシャイン現象 / ツー代数 / 軌道ディープホール |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限群の表現に対する新しい考察を得るために、本年度は群が作用している頂点作用素代数の表現の研究を行った。特に、それらの表現を決定するときに重要な役割を果たしているツー代数やツーポアソン代数の構造と有限群が作用している高次元空間を変数とする多変数モジュラー群による不変性との関係を研究した。まず、1つ目の研究として、古典的な指標理論を頂点作用素代数のツイスト加群に対して適用するためには、個々の元に対する表現論が必要となってくるが、完全可約とC2有限性の２つを満たせば、ツイスト加群としてそれらを実現できる。これらの条件に対しては、研究代表者がC2有限性の研究を長い間行っており、完全可約性に関しても、スコット氏との共同研究があるので、実現できている。より広い一般ムーンシャイン予想などに関係した可換群のような簡単な構造を持つものに対しても、頂点作用素代数の単純カレントと呼ばれる加群が対応し、それらの表現論も簡単な構造を持つので、完成のレベルに達していると言える。これらは可換な複数の元上の表現になるが、それほど大きな拡張になっているわけではない。それ故、次の段階である可換でない複数の元に対する表現論を構築するために必要な軌道理論の有限性を証明することが重要であり、現在研究中である。2つ目の問題として、ベクトル空間に群が作用する場合、それをウエイト１の空間の部分空間ととして埋め込める場合には、ローレンティアン格子頂点代数を利用した頂点作用素代数の変形の立場から考察した。これに関係した軌道ディープホールの構成を利用して、24次元のホロモルフィック頂点作用代数からリーチ格子頂点作用素代数をローレンティアン格子を使って構成する研究に対しては、熊本大学の千吉良氏、台湾中央研究院数学研究所のラム教授と進めており、台湾での頻繁な議論により、研究は順調に進んでいる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年の12月までは2回の国際会議（クロアチア、成都）を含む4回の学会発表を行い、台湾のラム教授との共同研究、山内、松尾、山田氏達の来訪による議論の進展など、順調に研究を進めていた。
しかし、2月以降、コロナウイルスに対する台湾政府の対応により、2月および3月に予定していた研究集会がともに、中止になり、また、この研究の議論を進めるうえでも重要な要素である国際間の人的交流がほぼ停止してしまっているので、少し停滞気味である。
ただ、最近は議論としては十分とは言えないにしろ、ネットを通してのセミナーを開催したり、自分サイドの研究は一応進んでいるので、国際間の交流が回復すれば、問題なく進展を進めることが出来ると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
台湾中央研究院のラム教授、熊本大学の千吉良准教授との共同研究である正則頂点作用素代数の統一的構成に関しては、前半の大きな目標であった任意の正則頂点作用素代数からローレンティアン格子を利用した自己同型の大きいリーチ格子頂点作用素代数を構成することに成功しており、この研究の最終目的の半分は終了した。これからは、目標の後半の部分である統一構成に向けての準備を始めている段階である。このためには、リー代数研究者たちや組み合せ論研究者たちとの交流も重要になってくるので、その為に経費の大半をネット環境の整備および旅費および謝金として利用する予定である。
また、ムーンシャイン型と呼ばれる頂点作用素代数の一意性に関しても、台湾のラム教授や国内の研究者との共同研究を中心に進めていく予定である。この方面の研究の為にも経費の大半を旅費として利用する予定である。
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| Causes of Carryover |
本年度２月と３月に台北市および台東大学で研究集会を予定していて、数名を招待する予定でいたが、新型コロナウイルスの発生により、両方の研究集会が中止となった。研究を進展させるためには、この状態が改善された段階で出来るだけ早く研究集会を開催する必要があり、その為に次年度に繰り越すこととした。
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