2018 Fiscal Year Research-status Report
The McKay correspondence over number fields
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18K18710
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
安田 健彦 東北大学, 理学研究科, 教授 (30507166)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2021-03-31
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| Keywords | マッカイ対応 / Batyrev-Manin予想 / Malle予想 / 概均質ベクトル空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
局所・大域対応により代数体上のマッカイ対応への理解には、局所体上のマッカイ対応について理解が欠かせない。この局所体上のマッカイ対応について大きな進展があった。これまでのマッカイ対応の定式化は非線形作用の場合には、線形作用への埋め込みを用いてなされていた。つまり外在的な定式化になっていた。また、この手法はアフィン代数多様体の場合にしか使えず、例えば幾何学的に自然な設定である射影的代数多様体には適用できなかった。今年度の研究において、内在的な定式化を発見した。従来の線形作用に対する、捻れ解消の手法を非線形作用にまで拡張する方法が明らかになった。ただし、この定式化に関する理論的細部は現在検証中であり、来年度はそれを論文にまとめ公表したい。この成果により、マッカイ対応に対するより関手的なアプローチを取ることができるようになり、理論的により取り扱いやすくなる。一方、代数体上のマッカイ対応そのものについては、まだ情報収集をしながら糸口を探している段階である。具体的には概均質ベクトル空間やBatyrev-Manin予想に関する情報を文献に当たったり、専門家との交流する中で収集している。また、幅広い分野からアイデアを探しながら、将来本研究課題の成果がより広い応用を持つためにも、周辺分野の研究者との交流が欠かせない。そのために、東北大学代数幾何セミナーに数名の数論幾何や代数幾何の研究者を招聘し、研究発表をしてもらい、研究討議を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数体上のマッカイ対応そのものについては、従来の計画からやや遅れている一方で、密接に関連する局所体上のマッカイ対応について大きな進展があり、全体としては順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
当面の目標は局所体上のマッカイ対応の内在的な定式化について理論的な詳細を詰め、それを論文にまとめ発表することである。論文にまとめた後は、その成果を国内外のセミナーや研究集会で発表することで、成果を多くの研究者と共有し、当該理論がより大きな広がりを持つように促す予定である。その後、この成果を応用し代数体上のマッカイ対応の理解に向け、具体的な計算を開始する。考える多様体の次元が低い場合や、群が簡単な場合に計算を行うことで、一般論への糸口を探っていく。
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| Causes of Carryover |
次年度6月に沖縄科学技術大学院大学で、12月に京都大学数理解析研究所にて本研究課題と関連する研究集会を開催することになった。本年度に計画していた国内外からの研究者招聘の一部を延期し、この二つの研究集会の際に招聘した方が有意義であると判断した。そのため本年度使用予定だった旅費の多くの部分を次年度に回し、翌年度分として請求した助成金の一部と合わせて研究集会参加者の旅費に充てる。
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