2018 Fiscal Year Research-status Report
Arithmetic of values at real quadratics of the j-function
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18K18712
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2021-03-31
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| Keywords | 楕円モジュラー j-関数 / 実二次無理数 / マルコフ二次無理数 / テータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当年度の研究が始まる直前の平成30年3月に，スイスの Ozlem Imamoglu およびその元学生，共同研究者より，本研究課題に関してかつて私が実験的に観察し予想した事実（Kyushu Journal of Mathematics, 2009）のいくつかを証明したとする論文のプレプリントが送られてきた．それは，楕円モジュラー j-関数の，同じ整数が並ぶタイプの特定の連分数展開を持つ二次無理数での「値」の極限値が，j-関数のフーリエ展開の定数項である744に収束するという結果と，マルコフ二次無理数と呼ばれる特別な実二次数での j-関数の値のある種の連続性に関する結果であった．その証明の議論を詳細に分析したところ，使っている手法は既に我々が Don Zagier 氏と進めていた方法であること，さらに，彼らが用いていた負の連分数展開によらず，通常の連分数展開を用いれば，より自然に，またもう少し一般的な形の命題が証明出来ることが分かった．この結果については6月に城西大学におけるセミナーで講演を行った． かなりの数の聴衆に恵まれ，有意義な議論を行うことが出来た．2009年の予想はまだ多く未解決のままであり，引き続き現在の手法を発展させるべく研究を続け，望むらくはもう少し成果を積み重ねた後に論文としてまとめる予定である．
また，立谷洋平氏，Carsten Elsner 氏と共同で，古典的なテータ関数の値の代数独立性に関する研究を行い，論文としてまとめた．これは現在投稿中である． そこでは楕円モジュラー関数の性質も用いられる． 我々の結果から，Ramanujan の恒等式を用いると，新しい超越数の実例を与えることが出来る．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Imamoglu らに先を越されてしまったとは言え，使っている手法はなじみ深いものであり，まだまだ出来ることはあると思っている． 2009年に提出した予想で残っているものについて，何らかの更なる進展につなげられるであろうとの見込みで，おおむね順調であると判断する．また，間接的ではあるが，テータ関数の値の代数的独立性の成果を得たことは，モジュラー関数の多様な側面の理解という点で，本研究の進捗に寄与しているものと考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
調和マース形式などを研究している学振研究員松坂俊輝君とも議論しながら，2009年に予想を提出して以来この方面で進展してきた研究成果を取り入れつつ，j-関数の実二次点での値について研究を進める．代数的な量を取り出すことについては依然として明確なアイデアはないが，逆に超越性に関する前年度の成果などがヒントになることもあろうかと思われ，その方面の研究も推進する．
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| Causes of Carryover |
頂点作用素代数や保型微分方程式について大きな業績を挙げている Geoffry Mason をアメリカより招聘し，永友，松尾，川節らの関連研究者とともにセミナーを行い，本研究のムーンシャイン的側面や虚数乗法的側面について議論する予定であった．しかるに家庭の事情により急遽来日が取りやめとなり，セミナーを中止せざるを得なかった．彼自身の今後の予定が未定なため，引き続き交渉を続けながらも，関連研究者の招聘や，こちらからの出張に充当していく．
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Research Products
(5 results)
