2021 Fiscal Year Research-status Report
Arithmetic of values at real quadratics of the j-function
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18K18712
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2023-03-31
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| Keywords | 楕円モジュラー j-関数 / 実二次無理数 / 類数 / Kronecker 極限公式 / テータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Hirzebruch-Zagierの定理，すなわち，素判別式をもつ虚2次体の類数を，その判別式の絶対値である実2次無理数を連分数展開したときの周期に現れる数の交代和によって与える公式，が半世紀近く前から知られている．そこに現れる素数は4で割った余りが3のものであるが，これを1余る場合にも拡張し，またより一般的な類似の結果をいくらでも生み出せるような，2次体の種指標のL関数についての一般的な定理を，徳島大の水野義紀と共同で研究し，その論文が昨年度 Journal of London Mathematical Societyに掲載出版された．これは実2次体のKronecker極限公式の，全整数環とは限らない整環への一般化を与えるものであり，本研究課題と深く関係しうる研究と思われるため，様々な応用も含めなお研究が進行中である．
昨年度Journal of Ramanujan Mathematical Societyに掲載の， Carsten Elsner，立谷洋平と共同で行った古典的なテータ関数の値の代数独立性，超越性に関する研究を，Daniel Duverneyも加えさらに発展させ，フィボナッチ数を用いた無限積の超越性などの結果を得た．エータ積などモジュラー形式をふんだんに使うもので，モジュラー関数の実2次点での値の超越性にも道が開けないものかを探る研究を立谷と対面で行った．
実２次体の caliber についての以前の研究を，3次体へと引き続き展開し，研究指導を行っている大学院生中園大雅が最終的にcaliber が1の3次体を完全に決定した．昨年度も書いたように，3次体の類数とモジュラー関数の研究は古く Dedekind が行っているが，その研究との関連や，本課題との結びつきを探ったが具体的な成果には至っていない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
昨年度同様，今年度も年度当初から終わりまで，新型コロナ感染症の大きな影響のもと，研究活動も多大な制約を受けた．その中で，モジュラー関数を用いた超越性の研究や3次体の caliber についての研究結果は，非常にすぐれたものと考えるが，本研究の目的を達成するためには，今のところなお道のりは遠いと言わざるを得ない．従来より大きな目的としている， 2009年に代表者が提出した，j関数の実2次無理数での値に関する予想を進展させることが，思うように進んでいないことが，研究が遅れているとする最大の理由である．しかしながら，昨年度の名古屋大学の松坂俊輝との議論をもとに，「モジュラー結び目」をキーワードとして，本研究の発展型とも言うべき科研費に応募，採択されている点は，パンデミックという暗い状況の中，明るい材料と言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
新型コロナ感染症の状況を見据えながらのこととなるが，引き続き，モックモジュラー形式，調和マース形式などの関連研究を調べながら，2009年に予想を提出して以来この方面で進展してきた研究成果を取り入れつつ，j-関数の実二次点での値についての研究を進める．今後はさらに，モジュラー結び目という位相的，数論的，力学系的対象を通し，従来の視点を大きく広げて，実二次体や不定値二次形式の数論に資する数論的不変量を取り出していくような研究を進める．Klein群の保型形式にまで枠組みを広げていくのも，未知の分野への探求であり，大変興味深い方向であると考えている．松坂，水野，Don Zagier らとの議論を活発に行いながら方向性を探っていく．水野がその後行ったヒルツェブルフ和と類数の関係を，本研究の視点から解釈，拡張することが出来れば面白いと考える．今一度これまでの古典的な成果を見直すことから始め，研究をすすめていく．Caliber についての研究は，余り多くの研究者が取り組んでいない分野でもあり，まだまだ発展させる余地がある．モジュラー関数との関連を見出すべく，関連研究者と議論を進める．
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症の影響により，研究集会がことごとく中止，またはオンラインとなったのが最大の理由である．研究打ち合わせも，出張の制限により，延期，オンラインでの打ち合わせを余儀なくされ，予算を必要とする機会が格段に減った．
次年度，状況が許せば，村上友哉や水野らとの議論のための旅費に予算を使用，また，外国渡航が出来る状況にまでなれば，Zagier や Ken Ono との議論のため，ドイツやアメリカに渡航もしくは招聘を行う．また，研究補助のためにポスドクを時間雇用することも視野に入れる．
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Research Products
(3 results)
