2018 Fiscal Year Research-status Report
Evolution equations with the coexistence of fractional derivatives and nonlinear structures
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18K18715
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2021-03-31
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| Keywords | 非整数階微分 / 非線形問題 / 発展方程式 / 異常拡散 / 多重スケール構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は非整数階微分と非線形構造が共存する発展方程式に関する一般論の構築として, ヒルベルト空間上の凸エネルギー汎関数に対する勾配流の非整数階微分版に対する理論を構築した. このような一般化された勾配流は, 地質学に現れる Richards 方程式, 多孔質媒質方程式, p-Laplace 拡散方程式などの非線形拡散方程式の非整数階微分版をカバーする非常に一般性の高い枠組みである. 非線形拡散方程式の非整数階微分版は近年, 様々な分野で研究されるようになった. 例えば Richards 方程式は土壌の特性を表すために非線形な拡散項を持っているが, 拡散レートは正常拡散的である. 一方, 実験では異常拡散的になることが知られており, そのための修正として非整数階微分と非線形拡散が共存する time-fractional Richards 方程式が導入された. 一方, このような非線形拡散方程式の非整数階微分版に対しては基礎理論が存在せず, 適切性や解の正則性などの基本的性質は常に仮定されていた. 本研究ではそのような基本的問題をまとめて解決できるような理論を構築している. ここで考える一般化された勾配流はすでに 70-80 年代に欧米の研究グループを中心に盛んに研究されてきたが, いわゆる強解の存在は長らく未解決であり, 何れの結果も generalized solution (=ある近似解の極限) しか得られておらず, それが実際に考える方程式を満たしているかは非線形項の極限の特定ができなかったため, 未解決だった. ここでは近年 Zacher らが開発したエネルギー法と, 新たに「下半連続凸汎関数に対する非整数階連鎖律」を開発することで強解の構成に成功した. さらにリプシッツ摂動理論を構築し time-fractional Allen-Cahn 方程式もカバーした.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初計画では非整数階微分に対する作用素論的な扱いを整備することを目的としていたが, 予定外に研究が進み, これまで未解決になっていた (非線形方程式に対する) 近似解の極限の特定が解決し, 概ね Brezis-Komura 理論の非整数階微分版に対応する一般論の構築に成功した. また既存の研究の整理も進んだため, 「研究の現在地」が明らかになった点も今後の研究を進める上で有利にはたらく事が予想される.
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| Strategy for Future Research Activity |
この分野は非常に新しい分野で手つかずの領域が多く, 今後やらなくてはならないことが山積している. ここで構築した手法や開かれた展望が今後の研究の展開を後押しするものとなるであろう. 特に非整数階微分を作用素論的に扱う枠組み, 最も基本的なエネルギー不等式, さらに非整数階連鎖律は, 非整数階微分を含む発展方程式や非線形偏微分方程式の研究を進める上で基礎となる. 今回得られた結果の方向としては, 今回の枠組みでは取り扱うことのできないケース (例えば非線形拡散に対するエネルギー解を扱える理論に相当するものなど) や大域的変分原理 (軌道ごとに値を与える汎関数の最小化問題として勾配流を定式化するアプローチ）が挙げられる.
一方, フーリエ変換やラプラス変換などの線形理論を除くと, 古典的な (つまり整数階の) 微分作用素を含む発展方程式や非線形偏微分方程式の研究で知られている手法の多くは非整数階微分作用素との相性が悪い. よってそれらの手法を非整数階微分作用素にアダプトできるように調整する必要がある. 例えば半離散化はその 1 つである. 実際, 非整数階微分の離散化法は古典的な研究で知られているもの, 函数解析的な扱いは整備されておらず, 現代数学的な偏微分方程式の扱いには不足がある. 今後は, 半離散化法に基づき非整数階微分による勾配流の構築を試みる.
また具体的な偏微分方程式に対する個別研究も不足している. 実際, 非整数階微分を伴う非線形拡散方程式の解の挙動に関する研究が Zacher らのグループや Valdinoci らによって行われているが, 解の減衰評価に必要な単純な常微分不等式の解析が既に難しく, 十分な解析は進んでいないのが実情である. 今後はそのような解の漸近挙動や, 比較原理, 一意性, 半群性, 正則性など, 解の定性的・定量的性質の調査も視野に入れる.
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| Causes of Carryover |
研究が当初予定より大幅に進んだため, 研究打ち合わせや情報収集のための出張を先送りし, その分の時間を今回報告した結果を得るために費やした. 差額は Zacher 氏 (ドイツ, Ulm 大学) をはじめとする欧州研究者の訪問・招聘に用いる予定である. Zacher 氏とはすでに 3 月末にコンタクトをとり, 双方の都合がつき次第, 訪問ができる状態である. 2019 年度後半の訪問を検討している. その他, 今回の結果に興味を持っている研究者との打ち合わせを行うため, University of Vienna, Technical University of Dresden, University of Pavia, University of Milan への訪問もしくは研究者招聘も予定する.
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Research Products
(6 results)
