2018 Fiscal Year Research-status Report
A new perspective of complex manifolds from the view point of generalizations of holomorphic motions
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18K18717
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
志賀 啓成 東京工業大学, 理学院, 教授 (10154189)
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2018-06-29 – 2021-03-31
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| Keywords | Holomorphic motion / 複素多様体 / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の主たる対象は正則運動である。正則運動はリーマン球面上の集合の単射写像のある複素多様体をパラメーター空間とする正則族として定義される。このときBers-Roydenの定理もしくはその一般化から、パラメーター空間の各点のある近傍に制限すればそれはリーマン球面全体の正則運動として表現されることが知られている。特にパラメーター空間が複素平面上の単位円板であるときには、Slodkowskiの定理から単位円板全体をパラメーター空間とするリーマン球面の正則族として表現される。この結果がどのような複素多様体にまで拡張できるかというのが本研究課題のテーマである。
本年度は正則運動の拡張である擬等角運動について同様の問題を考えた。得られた結果は擬等角運動についてのSullivan-Thurstonの主張－それは上述のSlodkowskiの結果の1次元版である－が正しくないことを証明し、その結果が成り立つような擬等角運動の条件を与えたことである。さらにこのような条件を満たす擬等角運動（tameな擬等角運動）がパラメーター空間として単連結なハウスドルフ空間を持てば、それがリーマン球面の擬等角運動に拡張されることを示した。これは正則運動よりもさらに強い結果が成り立つことを示したものになっている。
また、様々な力学系から作られるカントール集合を調べ、それらの多くが互いに擬等角同値であることを示した。このこととAhlfors-Bersの理論から、これらのカントール集合を結ぶ正則運動が存在することがしたがう。これによって正則運動の一つの側面が得られたことになる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者は様々なカントール集合の擬等角同値性を発見した。このことにより、これらのカントール集合同士がリーマン球面の正則運動によって写りあうことが直ちにわかる。ここで考えているカントール集合はKlein群などの力学系によって得られるものであるため、Klein群論、複素力学系、無限型リーマン面の研究に深く関連したもので、今後これらの分野にも影響を与えるものと思われる。これは当初に計画していた研究方向とは別のものであるが、正則運動の多様性を示すもので、本研究課題の今後の進展に役立つ発見である。また、正則運動の一般化である擬等角運動についても新しい知見が得られ論文として発表した。具体的には、擬等角運動に関するSullivan-Thurstonの論文の結果の間違いを指摘し、彼らが証明しようとした現象が起こる条件を与えた。これは正則運動も満たしているため、この結果はある種の普遍性を持っていると考えられる。以上の状況から，研究の進捗状況は順調であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度の研究の成果を踏まえて、正則運動の様々な性質を研究し、さらにその高次元化への試みを行う。具体的には擬等角性の高次元化、例えば擬対称性などについて考察する。これはM. Bonkらの先行研究と結びつくものと期待され、彼らの理論への応用も視野に入れたい。また、これらの概念はタイヒミュラー空間などの理論と密接に結びつくものであり、これらの研究との関連性も常に意識して進める。さらに高次元化の先駆けとして、高次元複素力学系の安定性にも着手したい。そもそも、正則運動は一次元複素力学系の安定性に端を発した理論である。したがって、高次元複素力学系にその理論の端緒を見いだすのは自然である。そのための道具として上述の擬対称性の理論を考えたい。
以上の研究を遂行するため、国内外の関連するセミナー、研究集会を通して関連分野の研究者と研究交流を行い、アイディアの研鑽を図る。今年度はロシアのサンクトペテルブルクで催されるリーマン面とタイヒミュラー空間の国際研究集会に参加して、この分野の第一線の研究者と討論を行う。また、研究成果発表や研究打ち合わせを国内外で積極的に行いたい。
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| Causes of Carryover |
本研究の対象はHolomorphic motion（正則運動）の拡張性とパラメーター空間である複素多様体であるが、Holomorphic motionの一般化であるquasiconformal motion（擬等角運動）の拡張性およびカントール集合の擬等角同値性について研究の予定外の進展があった。両者ともholomorphic motionそのものと直接的に関連する対象であるため、これらの研究をさらに進展させることにエフォートを費やした。そのため、holomorphic motionの拡張性とパラメーター空間の複素多様体の研究の時期は先送りした。このため次年度使用が生じた。今年度は先送りしていた研究に取り組み、前年度予定していた研究計画も含めて研究を行う。具体的には、擬対称写像の権威として知られるM. Bonkの研究で、前述のカントール集合の擬等角同値性および高次元のcross ratioについての注目すべき論文がいくつかあり、これらを精査する。それとともに，国内外の研究者と連絡を取り、研究を進展させる。研究代表者の国内外の出張や海外研究者の招へいを予定しており、次年度使用額は主にその旅費として使用する。
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Research Products
(1 results)
