2020 Fiscal Year Research-status Report
A new perspective of complex manifolds from the view point of generalizations of holomorphic motions
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18K18717
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
志賀 啓成 京都産業大学, 理学部, 教授 (10154189)
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2018-06-29 – 2022-03-31
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| Keywords | 正則運動 / 擬等角写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の主たる対象は正則運動である。正則運動はリーマン球面上の集合の単射写像のある複素多様体をパラメーター空間とする正則族として定義される。このときBers-Roydenの定理もしくはその一般化から、パラメーター空間の各点のある近傍に制限すればそれはリーマン球面全体の正則運動として表現されるこ とが知られている。特にパラメーター空間が複素平面上の単位円板であるときには、Slodkowskiの定理から単位円板全体をパラメーター空間とするリーマン球面 の正則族として表現される。この結果がどのような複素多様体にまで拡張できるかというのが本研究課題のテーマである。これに対し、正則運動の拡張可能性についてのChirkaの主張の反例を与え、さらにある種の位相的な自明条件を満たしていても、全平面の正則運動に拡張できない例を与えた。また、種々のカントール集合の擬等角同値性を考察し、一般化されたカントール集合が擬等角同値な場合にその最大歪曲度を評価した。さらに、一般化されたカントール集合が標準的な3分の１カントール集合と擬等角同値になるための必要十分条件を与えることに成功した。
異なるカントール集合でも，擬等角同値であれば、その二つのカントール集合の間には全平面の正則運動が存在することを示しており、この分野に新たな研究道具を与えるものになっている。特に、ショットキー群の極限集合と双曲複素力学系のジュリア集合の間の擬等角同値性は無限型Riemann面の間の正則運動にも繋がり、今後の進展が見込まれると考えている。また、このような研究の過程で「一様領域」との強い関連性が発見された。このことも新たな研究の方向性が得られたものと認識している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究で、研究代表者はショットキー群の極限集合や一般化されたカントール集合など様々なカントール集合の擬等角同値性を発見し、一般化されたカントール集合が擬等角同値な場合に、その最大歪曲度を評価した。このことにより、これらのカントール集合同士がリーマン球面の正則運動によって写りあうことが直ちにわかるが、最大歪曲度は正則運動のパラメータ空間の小林距離と密接に結びついていることが、Bers-Ryodenの考察から知られている。従って，上記の評価はカントール集合の変形空間の複素幾何的な情報を与えるものである。本年度はさらに、一般化されたカントール集合が標準的な3分の１カントール集合と擬等角同値になるための必要十分条件を与えた。 一般化されたカントール集合は確率論的視点から捉えることができることを鑑みると、新たな研究方向の可能性が見られると考えている。 さらに、正則運動に関するChirkaの主張の反例は、正則運動の拡張可能性についての障害の理解を深めるもので、今後のこの問題を考える指針の一つになると期待している。
以上の研究成果が得られ、特に一般化されたカントール集合と標準的な3分の１カントール集合と擬等角同値性条件の発見は大きな成果であると考えている。一方で、当初予定していた正則運動の対象になる集合をRiemann面の集合もしくは高次元化にその理論の拡張を見いだすための道具としてM.Bonkらの擬対称性の理論に踏み込む予定であったが、コロナ禍のため国内外の移動が難しくなり、研究者間の情報の共有及び討論が不十分になり、擬対称性の理論の進展に遅れが生じた。
以上の状況から、研究の進捗状況はおおむね順調であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究の成果を踏まえて、正則運動の様々な性質を研究し、さらにその一般化への試みを行う。具体的には領域の一般化、例えばRiemann面上の集合の正則運動あるいは高次元化などについて考察する。これはM. Bonkらの擬対称性についての先行研究と結びつくものと期待され、彼らの理論への応用も視野に入れたい。また、これらの概念はタイヒミュラー空間などの理論と密接に結びつくものであり、これらの研究との関連性も常に意識して進める。
そもそも、正則運動は平面領域の一次元複素力学系の安定性に端を発した理論である。したがって、Riemann面の集合にその理論の拡張を見いだすのは自然である。そのための道具として上述のM.Bonkらの擬対称性の理論を考えたい。
また昨年度発見した一般化されたカントール集合と標準的な3分の１カントール集合と擬等角同値性条件は、一般化されたカントール集合がランダムなパラメータを持つため、その空間とカントール集合のモジュライ空間を結びつけることができ、今後正則運動のみならず様々な分野との関連が期待される。このような可能性も探っていきたい。
以上の研究を遂行するため、国内外の関連するセミナー、研究集会を通して関連分野の研究者と研究交流を行い、アイディアの研鑽を図る。今年度も関連するリーマン面とタイヒミュラー空間の国内外の研究集会に参加して、この分野の第一線の研究者と討論を行う。また、研究成果発表や研究打ち合わせを国内外で積極的に行いたい。
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| Causes of Carryover |
COVID-19の世界的な流行により、国内外の研究者との研究打ち合わせ及び研究集会への参加が頓挫しため次年度使用額が生じた。次年度はCOVID-19感染状況を観察しつつ研究打ち合わせを機動的に行う。状況によっては予算を研究書や研究遂行のために必要な物品の購入に充てる。
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