2020 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of Laplacians on fractals invariant under action of discrete groups of Moebius transformations
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18K18720
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
梶野 直孝 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (90700352)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2022-03-31
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| Keywords | ラプラシアン / フラクタル / Klein群の極限集合 / Sierpinski carpet / 自己等角フラクタル曲線 / 複素力学系のJulia集合 / Klein群の擬等角変形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度末の時点で，本研究課題の前提であるApollonian gasket上のラプラシアンに関する結果，および2018年度中に得られていたKlein群（Riemann球面上のメビウス変換のなす離散群）の作用で不変かつSierpinski carpetと同相な円詰込フラクタルにおけるラプラシアンに関する結果について，概説論文の執筆と投稿を行っていた．2020年度にはこれを査読結果に基づいて改訂・再投稿し，The Proceedings of the 12th MSJ-SI ``Stochastic Analysis, Random Fields and Integrable Probability''（Advanced Studies in Pure Mathematicsシリーズの1冊として発刊予定）への掲載を決定させた．
またこれらの結果について2021年2月にTopology and Dynamics Seminar at the University of Birminghamにおいてオンライン会議システム「Zoom」により遠隔で研究発表を行った．
さらにKlein群の作用で不変かつSierpinski carpetと同相だが円詰込でないフラクタル（の扱い易い具体例）について検討を深め，幾何的に自然と思われるラプラシアンの候補を定義することが等角写像の有限族の作用で不変な単純フラクタル曲線の場合と同様の方法により可能であることの確認をほぼ完了した．このラプラシアンについてさらにWeyl型固有値漸近挙動を証明するために，まずNash不等式やcutoff Sobolev不等式などの基本的な関数不等式が示せないかの検討を試みたものの，2020年度は本研究課題以外の職務や研究により多くの時間を費やすことを余儀なくされたこともありまだ十分には検討できていない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2019年度の時点で既に解決の見通しが立っていた等角写像の有限族の作用で不変な単純フラクタル曲線における幾何的に自然なラプラシアンの構成と解析については，Weyl型固有値漸近挙動の証明が完成間近であったにも拘らず2020年度は他の職務・研究の都合によりこれを完成させることができなかった．この話題は解決困難であろうと本研究課題の応募時点で見込んでいたものであるとはいえ，完成を目前にして1年間に渡り足踏みしてしまっている現状は全体として2019年度中に見込んでいたよりは少し遅れていると評せざるを得ない．
Klein群の作用で不変かつSierpinski carpetと同相だが円詰込でないフラクタル（の扱い易い具体例）については，幾何的に自然と思われるラプラシアンの定義可能性の確認がほぼ完了したのは2020年度当初の見込み通りである．また続く課題であるNash不等式やcutoff Sobolev不等式などの基本的な関数不等式の証明も，その困難さは2020年度当初より予測しており，まだ十分に時間をかけて検討できていないとはいえ進展の見通しがまだ立てられていないことはやむを得ないと思われる．
一方，2019年度末までに得られた結果およびその前提となる結果に関する論文の執筆については，概説論文1編の掲載決定には漕ぎ着け詳細な証明を記した論文の執筆も少しずつ進めてはいるものの，時間の不足のため満足に取り掛かることは依然としてできておらず，最も基本的な場合であるApollonian gasketの場合でさえ論文の完成にはもうしばらく時間を要するという状況である．
以上から，検討中の課題の困難さに鑑みると仕方がない部分もあるものの，研究課題全体としては2020年度末時点での進捗状況は2019年度中に見込んでいた水準よりやや遅れていると評価せざるを得ない．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題は2020年度には他の職務・研究の都合による時間不足を原因として停滞を余儀なくされたため，今後の研究の推進方策は基本的には2020年度当初に想定していたものを踏襲する．
具体的には，まず等角写像の有限族の作用で不変な単純フラクタル曲線における幾何的に自然なラプラシアンの構成と解析について，既に見通しが完全に立っているWeyl型固有値漸近挙動の証明を速やかに完成させる．さらにこの場合に対する知見を土台として，Klein群の作用で不変かつSierpinski carpetと同相だが円詰込でないフラクタル（の扱い易い具体例）に対してもNash不等式やcutoff Sobolev不等式などの基本的な関数不等式の証明を試み，ひいてはWeyl型固有値漸近挙動を示すことを目指す．また単純曲線やSierpinski carpetとは全く異なる位相構造を有するKlein群の極限集合および複素力学系のJulia集合に対しても，同様の結果を得ることができないかを（困難であろうと見込んではいるものの）時間の許す範囲で検討する．
一方，上記と並行して円詰込フラクタルにおける研究についても，前提となるApollonian gasketに対する結果およびSierpinski carpetと同相な円詰込フラクタルに対する結果に関する論文の執筆を急ぎ，さらに一般の有限分岐的（各構成単位同士の共通部分が有限集合）な円詰込フラクタルへの拡張についても数学的枠組みの設定・技術的詳細の検討・論文執筆を進める．
以上の研究に関し国内外の研究集会で研究発表を行い，結果の周知に努めるとともに関連分野の専門家らの知見を乞う．また2021年度後半にはSierpinski carpetと同相なフラクタルを双曲群論や2次元擬等角幾何との関連で活発に研究している各国の専門家らを招聘あるいは訪問し議論を行う．
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| Causes of Carryover |
2020年度には種々の研究集会への参加のため複数の国内出張および海外出張を予定していたが，新型コロナウィルス感染症の感染拡大に伴いそれらを全て取り止めることを余儀なくされたことから出張旅費を使用しないこととなった．
加えて2020年度末には比較的規模の大きい国際研究集会の日本国内での開催を計画しており，それに伴い多数の国内研究者および外国人研究者を招聘するための多額の招聘旅費が必要になるものと見込んでいたところ，やはり新型コロナウィルス感染症の感染拡大により当該研究集会の開催も2021年度に延期せざるを得なくなり，これに合わせて招聘旅費も2021年度に持ち越すことが適切という状況になった．
以上のことから2020年度は旅費所要額が皆無となり，そのため最終的な使用額もごく少額に留まることとなった．
次年度使用額は，国内外の研究集会で研究発表を行い結果の周知に努めるとともに関連分野の専門家らの知見を乞うための旅費，各国の専門家らを招聘あるいは訪問し議論を行うための旅費，および上記国際研究集会の開催に当たり多数の国内研究者および外国人研究者を招聘するための招聘旅費として使用する．
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Research Products
(3 results)
