2021 Fiscal Year Research-status Report
Towards new mathematical tools for understanding chemical reaction networks
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18K18723
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
荒井 迅 中部大学, 創発学術院, 教授 (80362432)
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| Project Period (FY) |
2018-06-29 – 2023-03-31
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| Keywords | 反応経路網 / 同変モース理論 / コンレイ指数 / 計算トポロジー / グラフ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，量子化学計算で得られた反応経路網のデータやポテンシャル曲面の構造を理解するための，数学的に裏付けのある手法を構築することを目標とするものである．一般的に量子化学計算で得られるデータは分子構造を記述する高次元空間の座標で書かれており，反応について理解するためには，何らかの方法で低 次元空間に落としこむ必要がある．しかし，そのための数学的な理論はまだ未発達であり，化学者が経験や基づき手動で次元縮約を行なってきた．また，一般的な手法では，ポテンシャル曲面の構造を少数の着目する変数で記述し，着目していない方向はポテンシャルの最小値を取るなどの縮約を行なっているが，非線形性が強い場合にはこの方法で正しい構造は得られない．そこで本研究では，同変モース理論やコンレイ指数理論等のトポロジーの道具，それらを計算機上に実装する計算トポロジー理論，さらにグラフの構造保存埋め込み理論などを組み合わせることにより，化学反応経路網を視覚的にも，幾何学的にもより正しく理解する技法を構築する．本年度は，特に反応経路の時系列解析において，より幾何学的に自然な表現が得られるような改良を行なった．具体的には，自由度が比較的小さい場合に配位空間に表われる特異点の解析を進めた．配位空間には空間の回転対称性に起因する特異点が存在するため，通常のモース理論は適用できない．そのため，特異点の影響を考慮に入れた同変モース理論を用いて，配位空間のトポロジーとサドルの配置に関する研究を行なった．また，さらにこれをモース理論からコンレイ指数理論にまで一般化し，同変版のコンレイ指数理論として一貫性のある理論の記述ができないか検討を進めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
多次元尺度法を用いた可視化や，位相幾何学的な方向，特にモース理論的な空間構造の理解については研究がほぼ予定通り進んでいる．その一方，新型コロナの関連もあり，理論を応用するための化学者との連携や情報収集には遅れが見られるため，総合的に判断してこのような評価となった．
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| Strategy for Future Research Activity |
多次元尺度法については，より高精度かつ自然な幾何学的表現を得るために，配位空間上の自然な測地的距離や，それを緩和近似する距離の導入を研究してきたが，今後はこれらをアルゴリズム化し，具体例への応用が可能な形にまとめる．また位相幾何学的な方向では，同変モース理論を発展させた同変コンレイ指数理論を展開し，接続行列や遷移行列の理論の同変版を用いた統一的な理論の表現を目指す．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響により予定していた旅行が延期になったことにより，次年度使用額が生じた．
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