2020 Fiscal Year Research-status Report
Modern Mathematical Analysis for the Fluid Dynamics
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18KK0072
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (50273165)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
柳沢 卓 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30192389)
筒井 容平 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40722773)
高田 了 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50713236)
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| Project Period (FY) |
2019-02-07 – 2023-03-31
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| Keywords | 流体方程式 / 関数解析 / 調和解析 / 実解析 / 微分幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
小薗--柳沢--清水は、ドイツDarmstadt工科大学のHieber教授とSeyfert博士との国際共同研究で、2次元外部領域におけるLr-調和ベクトル場、すなわち発散ゼロおよび回転ゼロを満たすベクトル場の次元を決定した。2次元平面内の滑らかな閉曲線を境界にもつ外部領域におけるLr-調和ベクトル場に対して、法線方向が0である境界条件と、接線方向が0である境界条件の2種類を考え、いずれの境界条件でもLr-調和ベクトル場は有限次元の線形空間であることを証明した。特に、境界がL個の連結成分からなる単一閉曲線であるとき、1<r≦2のときはL-1次元線形空間であり、2<L<∞のときはL次元線形空間であることを示した。2は2次元のPoisson方程式の斉次Dirichlet境界問題の弱解の可解性の閾値である。
小薗--清水は、Navier-Stoes方程式の強解の存在のための初期値に関する斉次Besov空間による特徴づけを行った Navier-Stokes 方程式の古典解あるいは強解としてよく知られているSerrinクラスを、空間方向に斉次Besov空間、時間方向にLorentz空間なる関数空間を導入した。この関数空間に解が属するためには、初期値がスケール普遍な斉次Besov空間に属することが必要十分であることを明らかにした。
筒井は、最大L∞正則性に相当する実補間理論を用いた不等式により、Navier-Stoes方程式の定常解の安定性を斉Besov 空間で示した。高田は、2次元非粘性成層Boussinesq方程式の初期値問題を考察した。Sobolev埋め込み定理の観点から最適と考えられる正則性をもつ初期値に対して、同方程式の長時間一意可解性を証明した。また、重み付き高階Gagliardo-Nirenberg型補間不等式の重み冪の許容指数範囲を球対称関数に対し改良した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2次元外部領域のLr-調和ベクトル場分解定理について論文が受理された。3次元外部領域のLr-調和ベクトル場分解定理についても論文投稿中である。パラメータトリックによる正則性の解析についても準備を進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
2次元および3次元外部領域のLr-調和ベクトル場分解定理のNavier-Stokes方程式への応用を主たるテーマとする。パラメータトリックによる正則性の解析についても研究を推進する。
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| Causes of Carryover |
コロナ蔓延防止のため外国出張ができない状況が続いているため。コロナ規制が解除となれば、Darmstadt工科大学、Karlsruhe工科大学へ訪問あるいは招聘し研究打ち合わせを行う。
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