Hilbert-Speiser型の代数体とStickelbergerIdea1

2007 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 19540005
• Research Institution: Ibaraki University
• Principal Investigator: 市村 文男 Ibaraki University, 理学部, 教授 (00203109)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 内藤 浩忠 香川大学, 教育学部, 教授 (00180224) ; 相羽 明 茨城大学, 理学部, 准教授 (90202457) ; 高橋 浩樹 徳島大学, 大学院・ソシオテクノサイエンス研究部, 准教授 (90291476)
• Keywords: Hilbert-Speiser number field / Stickelberger ideal / 整数環 / 正規整数底

Research Abstract

今年度の研究成果のうち、主要な部分を述べる。代数体Fが素数pに対するHilbert-Speiser条件(H_p)を満たすとは、F上の全てのtameなp次巡回拡大が正規整数底を持つことをいう。HilbertとSpeiserにより、有理数体Qはどのpでもこの条件を満たすことが知られている。一方、Greither達により、Q以外の代数体Fは、無限個のpで(H_p)を満たさないことが知られている。その証明にはChebotarevの密度定理を使うため、そのようなpについての具体的な情報は全くない。そこで、Fはどのpで(H_p)を満たすか否かが問題になる。高橋氏(徳島大)との共同研究で11以下のpに対して、(H_p)を満たす虚2次体Fを決定した。p=2、3、5、7、11に対して、そのようなものの個数は、3、4、2、1、0である。これらの類数は1であった。これを踏まえて、あるpで(H_p)を満たす虚2次体の類数は常に1であることを証明した。従って、特に、(H_p)を満たす虚2次体の個数は高々9個である。この結果は、より大きな素数pで(H_p)を満たす虚2次体を決定しようという今後の研究とって大切な部分となる。さらに、一般の代数体Fに対して、(23以上の)素数pで(H_p)を満たすためには、Fとp分体がQ上disjointでなければならないことを証明した。なお、p=3や5では、このようなことは成り立たないことが知られている。
以上の諸結果を導くために、F上のp次巡回拡大達の整数環のlocally free classes全体をとらえるMcCullohの定理と、円分体や円分岩沢理論の古典的な定理・考え方を縦横に用いた。

Research Products

• [Journal Article] Imaginary quadratic fields satisfying the Hilbert-Speier type condition for a small prime p (2007)
  • Author(s): 市村 文男
  • Journal Title: Acta Arithmetica 127 Pages: 179、191
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Note on imaginary quadratic fields satisfying the Hilbert-Speiser condition at a prime p (2007)
  • Author(s): 市村 文男
  • Journal Title: Proceedings of the Japan Academy 83 Pages: 88、91
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Note on Hilbert-Speiser number fields at a prime p (2007)
  • Author(s): 市村 文男
  • Journal Title: Yokohama Mathematical Journal 54 Pages: 45、53
  • Peer Reviewed
• [Remarks] 茨城大学研究者情報総覧
  • URL: http://info.ibaraki.ac.jp/scripts/websearch/index.htm