| Research Abstract |
前年度までの研究により,局所環Rにおいて与えられたイデアルIのj-重複度を具体的に計算するには,Iのd-1個の「一般的」な元をとり,それらから定まるあるR-加群の長さを測れば良いことが分かった.
本年度は,その公式を具体的なイデアルに適用してj-重複度の計算を実行してみた.「一般的な元をとる」という言葉は非常に論理的・抽象的な表現であって,具体例においてそれを実行することはある程度の困難が予想されたのだが,例えば3次元Cohen-Macaulay局所環Sのパラメータ系x,y,zをとり,剰余環R=S/(x^2-yz)SにおいてイデアルI=(x,y)Rを考えるとj(I)はS/(x,y,z)Sの長さに一致することが分かった.この結果はSがm=(x,y,z)Sを極大イデアルにもつ正則局所環の場合にはj(I)=1となることを示しており,極大イデアルと異なるイデアルであってもj-重複度が1となり得る事は大変興味深い.
また,形式的ベキ級数環R=k[[x,y,z]]においてspace monomial curve : x=t^k,y=t^l,z=t^mの定義イデアルをpとする(即ち,環の準同型写像ψ:→S=k[[t^k,t^l,t^m]](ψ(x)=t^k,ψ(y)=t^l,ψ(z)=t^m)の核をpとする)とj(I)=min{length_SS/ω|ωはSの正準イデアル}となることが分かった.
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