2009 Fiscal Year Annual Research Report
非正則 Eisenstein 級数の挙動と q 超幾何関数論
| Project/Area Number |
19540049
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
桂田 昌紀 Keio University, 経済学部, 教授 (90224485)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野田 工 日本大学, 工学部, 准教授 (10350034)
|
|---|
| Keywords | Eisenstein級数 / q超幾何関数 |
|---|
| Research Abstract |
[I]非正則Eisenstein級数の漸近展開:以下sを複素変数,zを複素上半平面のパラメタ,kを任意の(正負の)偶数とし,E_k(s;z)でSL_2(Z)に付随する重みkの非正則Eisenstein級数を表す.本研究代表者は,Maassの微分作用素を逐次作用させる手法により,E_k(s;z)のImz→+∞における完全漸近展開の導出した.この展開からは,扇状領域0<arg z<π内をz→0とするときのE_k(s;z)の完全漸近展開を始め,E_k(s;z)のFourier級数展開や種々の特殊値の閉じた形の明示公式,また(準)正則Eisenstein級数のq-seriesによる展開,さらにはE_k(s;z)が重みkの非ユークリッドLaplacianの固有関数になることの直接的証明など,数多くの有用な新知見が得られている.
[II]q多重積分・q多重微分の漸近展開:以下,qを|q|<1を満たす複素パラメタとし,q=e^<-t>とおく.本研究代表者は古典的なThomae-Jackson型q積分およびq微分について,それらに重みを付加し多重化した作用素を導入した.さらにこれらの作用素をかなり一般なクラスの正則関数に作用させ,作用素の順像に対し,そのパラメタtが扇状領域|arg t|<π/2内をt→0となるときのtの増大オーダーの完全漸近展開を導出した.結果を論文"Asymptotic expansions for certain multiple q-integrals and q-differentials of Thomae-Jackson type"として執筆中で,欧文学術雑誌に投稿予定である.
[III]Lerchゼータ関数の高階導関数の積平均:本研究代表者は,Lerchゼータ関数の(階数が同一とは限らない)高階導関数のある種の積平均について,Im s→±∞となるときの|Im s|の減少オーダーの完全漸近展開を導いた.結果を論文"An application of Mellin-Barnes type integrals to the mean square of Lerch zeta-functions III"として執筆中で,欧文学術雑誌に投稿予定である.
|
