正標数における非特異代数曲線巡回拡大の標数零への引き上げ問題について

2008 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 19540051
• Research Institution: Chuo University
• Principal Investigator: 関口 力 Chuo University, 理工学部, 教授 (70055234)
• Keywords: 群スキーム / 引き上げ問題 / 代数曲線被覆 / 巡回拡大 / 変形群スキーム

Research Abstract

正標数pにおける代数曲線の巡回被覆の標数零への引き上げ問題が主目的であり、p次巡回拡大についてはOort-Sekiguchi-Suwaにより解決し、p^2次拡大の場合にはGreen-Matignonによって肯定的に解決をみている。その際の手法として、Artin-Schreier-Witt理論のKummer理論への変形理論を構成することであった。これら理論の統合は、加法群から乗法群への変形群スキームを構成し、それらの拡大群を決定することによりなされる。更に、分岐を記述するために変形群スキームのコンパクト化が必要になるが、Wittベクトルのなす群スキームのコンパクト化はGarutiによりなされており、2次元におけるGreen-Matignonの結果を指針に、Neron blow-upを計算することによりなされると考えており、これについては尚研究続行中である。
引き上げ問題解決において開発した変形群スキームに関して、様々な問題が考えられ、これらを解決することは、引き上げ問題解決のみならず、群スキームに関して新たな重要な具体例を与えるものと考えている。そうした問題として、様々な拡大群の計算、それら変形群スキームの有限部分群スキームに関するCartier双対の計算、トーザーの計算があり、これらに関する結果について、現在まとめている。
代数曲線のPicard群の加算アルゴリズムについて、暗号への応用を視野に、Cantorアルゴリズムの一般化を行い、現在、雑誌への投稿準備中である。