| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
坪井 俊 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40114566)
中山 裕道 青山学院大学, 理工学部, 教授 (30227970)
久我 健一 千葉大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30186374)
杉山 健一 千葉大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90206441)
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| Research Abstract |
本年度は昨年度に引き続き,積分不可能平面場に対するエントロピーに関して,適切かつ効果的な定義はどうあるべきか,および,非自明なエントロピーをもつ例をどう構成するか,について研究を進めた.積分可能の場合,すなわち葉層構造の場合は,GLW等により,2点をR分離するとき,一方の点から出発する長さR以下の葉曲線Cに対して,他方の点から出発する葉曲線は連続であるような全ての曲線Dを考え,Dを動かすときのCとDのC0距離の下限としてR距離が定められ,それを用いてエントロピーが定められた.しかし,容易にわかるように,接触構造を始めとする積分不可能度の高い平面場の場合には,GLWと逐語的に同じ定義をするとエントロピーは平面場の複雑さを反映することなく常に自明になってしまう.そこで,意味のある定義を得るためには何らかの変更が必要となる.本研究では,考える曲線は全て,与えられた平面場に接していて,かつ,1回連続微分可能なものとし,そのような2つの曲線の近さは,単なるC0距離ではなく,微分量の違いも考慮したC1距離で測ることにした.そして,この概念を用いて積分可能不可能を問わずあらゆる平面場に対するエントロピーを定義した.この新しいエントロピーは残念ながら接触構造に対しては常に消滅してしまうが,アノソフ流から構成される或る種の積分不可能平面場(エンゲル構造)に対しては非自明となることが確認される.この結果は現在,論文執筆中である.また,研究分担者は本研究に協力し,関連する研究成果を得た.
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