コンパクトリー群の随伴作用に関する同変K群の表現論的および位相幾何学的研究

2007 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 19540074
• Research Institution: Yachiyo International University
• Principal Investigator: 西村 治 Yachiyo International University, 学校教師学部, 講師 (30402770)
• Keywords: リー群 / 表現論 / 随伴作用 / 同変K群 / 不変式

Research Abstract

Gをコンパクト連結Lie群で基本群が自由なものであるとする。R(G)をGの複素表現環とする。Gのそれ自身への随伴作用adによりGをG-空間と見なしたものをG_<ad>で表わす。このG-空間についての複素G-同変KコホモロジーK^*_G(G_<ad>)を考える。BrylinskiとZhangによると、環の包含関係Z⊂R(G)に関するGrothendieck微分のなす代数Ω^*_<R(G)/Z>(これはrank G個の生成元を持つR(G)上の外積代数と同型である)との同型φ:Ω^*_<R(G)/Z>〓K^*_G(C_<ad>)を構成することができる。さらにこの構成の過程においてΩ^*_<R(G)/Z>〓Ω^*_<R(T)/Z>^Wが示されている。ここでTはGの極大トーラス、WはGのTに関するWeyl群であり、Ω^*_<R(T)/z>^WはΩ^*_<R(T)/Z>へのWの自然な作用に関する不変元全体を表すものとする。したがってK^*_G(G_<ad>)〓K^*_T(T_<ad>)^Wである。ここでK^*_T(T_<ad>)^WはK^*_T(T_<ad>へのWの自然な作用に関する不変元全体であり、上の2つの同型は包含写像T→Gを用いて定義される。BrylinskiとZhangは上記定理の証明の本質的な部分において、Gを代数群と見なすことにより代数幾何学的な議論に帰着させ、証明を行っている。
今年度の研究において、上記のBrylinBki-Zhangの結果のうち、K^*_G(G_<ad>)〓K^*_T(T_<ad>)^W(およびこれらがrankG個の生成元を持つR(G)上の外積代数と同型であること)について、位相幾何学的および表現論的な手法のみを用いた、直接的で自然な別証明を与えた。(この結果については現在投稿準備中である。)さらに次年度の研究に向けての基礎として、この別証明において用いた手法を利用することにより、GがU(2),Sひ(2),SU(3),Sp(2),G_2などの場合について、K^*_G(G_<ad>)上のAdams作用棄の計算のいくつかを具体的に行った。