2009 Fiscal Year Annual Research Report
平坦な幾何構造を許容する等質空間の不変量による特徴付け
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19540091
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
阿賀岡 芳夫 Hiroshima University, 大学院・理学研究科, 教授 (50192894)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田丸 博士 広島大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (50306982)
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| Keywords | 射影構造 / 平坦 / 左不変 / リー群 / リー環 / 不変式 / 表現 |
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| Research Abstract |
平成21年度は、前年度からの継続課題として、リー群上の左不変平坦な射影構造についての研究を行った。リー群上の左不変平坦な射影構造と、リー環の作用で不変なある種の多項式との対応については前年度までの研究によりその関係は明確になっていたのであるが、今年度はその応用として、例えばSL(m, R)xSL(m+1, R)といったリー群上に左不変平坦な射影構造の存在することを示した。この事実は、更に加藤宏尚氏によって概均質ベクトル空間との対応、という形で一般化されることとなり、今後の更なる展開が期待される結果が得られたといえる。リー群の次元をnとすると、この種の幾何構造とn+1元ベクトル空間上のn+1次不変式とが対応しているのであるが、このような形に表示される不変式の特徴付けに関する研究も行った。例えばリー群が半直積の形をしている場合には、この不変式は二重の意味で群の作用による不変性をもたねばならず、ある種の半直積リー群上には平坦な射影構造の存在しないことをこの観点から証明することに成功した。その一方で、SL(n, R)とR^nとの半直積として得られるリー群上にはこの種の幾何構造が存在することを示すことができた。
以上の研究は、リー環の表現が指定された場合の存在・非存在性を判定する手法を不変式論的立場から与えるものであり、十分な成果が得られたといってよい。この結果、表現の取り方に依存しないリー環単独の性質のみでこの種の幾何構造の存在・非存在性を判定する手法を開発することが、次段階の明確な課題として姿を現すことになった。
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