2007 Fiscal Year Annual Research Report
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19540096
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
今井 淳 Tokyo Metropolitan University, 大学院・理工学研究科, 准教授 (70221132)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
神島 芳宣 首都大学東京, 大学院・理工学研究科, 教授 (10125304)
MARTIN Guest 首都大学東京, 大学院・理工学研究科, 教授 (10295470)
横田 佳之 首都大学東京, 大学院・理工学研究科, 准教授 (40240197)
赤穂 まなぶ 首都大学東京, 大学院・理工学研究科, 助教 (30332935)
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| Keywords | 共形幾何学 / 結び目 / エネルギー |
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| Research Abstract |
1、曲線または結び目の共形幾何学に関して。
共同研究者のランジュヴァン教授を2007年11月に2週間弱日本に招へいし、さらに2008年1月に2週間今井が渡仏してランジュヴァン教授を訪ね、継続中の共同研究を進めた。そこで得られた結果は以下の通りである。
3次元空間内の曲線が与えられたとする。その接触円全体を考えると、それは、向きづけられた円全体のなす空間Sの曲線になる。この空間Sには、共形幾何学的視点から自然な擬リーマン計量が入る。すなわち、各接空間には指数が2の非退化不定値2次形式が入る。向きづけられた円全体のなす空間Sの中の、接触円全体のなす曲線は、この擬リーマン計量に関して、零曲線になる。すなわち、曲線上の各々の点での接ベクトルの長さは0になってしまう。
ところが、長さの代わりに、「半分次元の長さ」を考えると、これは元の3次元空間内の曲線の「共形的弧長」と等しくなることが分かった。この共形的弧長は1940年代に定義されたものだが、今回の共同研究で、新しい別の意味付けが得られたことになる。
この結果は、「接触円による共形的弧長」というタイトルで研究論文にしたので、学術雑誌に投稿する予定である。
2、4点の共形的双対に関して。
空間の4点から、共形幾何学的方法で(具体的には、円と角度のみを用いて)別の4点を得る方法を定義した。この方法を2回繰り返すと元の4点に戻ることから、これを共形的双対と呼ぶことにした。この結果は、Far East Journal of Mathematical Educationという学術雑誌に掲載される予定である。
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