| Research Abstract |
Garsia-Haiman加群の次元の一致をテーマとしている. 特に, 対応する分割がhookの場合を問題としている. あるhookが与えられたとき, その長さに応じてGarsia-Haiman加群の次元の一致を与える自然数の範囲が定まる. その範囲に属するおのおのの自然数に対して対称群の部分群と, その部分群に対して次元が互いに相等しい加群を構成し、そこからの誘導加群として, Garsia-Haiman加群の次元の一致を与える部分加群を再構成し, もってこの組合せ論的性質の表現論的解釈とすることが目的である.
次元の一致は, 今回の研究で始めてその存在が認識された性質で, 組合せ論的にみても十分に興味深い性質であるが, それが表現論の言葉で解釈できることを示した点に, この研究の重要性および独創的な点がある. そのほか, 可換環論における単峰対称数列の研究を鑑みても, 今回の性質は環論的にも幾何的にもその解釈が存在する可能性があり, 今後様々な問題群を提供する可能性があることも, その重要性の一因に数えられる.
当該年度においては, 上述のとおりhookに対応する場合とrectangleに対応する場合を, その考察の対象としている. 結論としてはhookの場合には所期の目標を達成することができた. 一方, rectangleに対応する場合では, 当年度では様々な実例計算に終止し, 一般的な状況での予想を立てるには至っていない. これは, rectangleの場合でも, 特に成分の値が3を超えると状況は一度に複雑化し, とるべき部分群とその加群の統一的な構成方法が今のところ把握できない. 最近DescouensおよびNumataとの共同研究によって推進されているMacdonald多項式の分解公式の組合せ論的証明に向けた試みのなかでも, この点に対応していると思われる困難さが生じており, 何かしら本質的な問題が潜んでいると思われ, この点の解析が今後の課題ではある. しかし一方では, この問題の根底を支える2変数のGreen多項式の冪根における漸化式は, Springer加群の場合と同様に, 望ましい形で成立していることから, 原理としてはこの漸化式にあとは表現論的な肉付けを与えるだけであり, 肯定的な解決が得られると判断することができる.
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