2010 Fiscal Year Annual Research Report
ミニマイジング・ムーブメントを中心に変分問題,微分方程式等における諸問題の研究
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19540212
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
菊地 光嗣 静岡大学, 工学部, 教授 (50195202)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清水 扇丈 静岡大学, 理学部, 教授 (50273165)
星賀 彰 静岡大学, 工学部, 准教授 (60261400)
足達 慎二 静岡大学, 工学部, 准教授 (40339685)
中島 徹 静岡大学, 工学部, 准教授 (50362182)
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| Keywords | ミニマイジング・ムーブメント / 変分問題 / 非線形偏微分方程式 / 発展方程式 / 幾何学的測度論 |
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| Research Abstract |
研究代表者の菊地は広島大学,神戸大学,茨城大学などで開催された研究集会に出席し,広島大学教授坂口茂氏,三上敏夫氏,柴田徹太郎氏,神戸大学教授中桐信一氏,同准教授白川健氏,茨城大学教授曽我日出夫氏らと研究連絡を行った。さらに広島大学研究員川上竜樹氏,山口大学助教幡谷泰史氏に静岡大学を訪問してもらい函数方程式に関する最新の研究成果について情報提供してもらった。分担者の星賀は東北大学を,中島は名古屋大学を訪問し必要な研究連絡を行った。
今年度はノンパラメトリックな曲面の振動方程式(2階準線形双曲型方程式)に関する結果を2つ得た。まず,ある特殊な形の一次増大度の粘性項をノンパラメトリックな曲面の振動方程式に付加した時に,初期条件が適当なクラスに属していれば,その方程式は有界変動函数の空間で解けることを示した。このとき解は方程式の形を少し変形した上でミニマイジング・ムーブメントの方法により構成した。この結果は,神戸大学における研究集会で口頭発表した。もう1つは,ノンパラメトリックな曲面の振動方程式に関する過去の研究成果の証明を改良した。ノンパラメトリックな曲面の振動方程式の近似解をミニマイジング・ムーブメントの方法で求めその極限がエネルギー保存則を満たせば弱解になるという定理を過去に得ていたが,以前は幾何学的測度論の一つであるヴァリフォルド理論を用いて証明した。しかしながら,ヴァリフォルド理論は偏微分方程式の研究においては標準的な理論ではなく,そのため,多くの偏微分方程式の研究者にとっては理解が困難なものであった。これを,エネルギー汎函数の凸性を利用してより標準的な方法で証明することに成功した。この結果は東京工業大学におけるセミナーで口頭発表した。
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