2009 Fiscal Year Annual Research Report
幾何学的変分問題の解の安定性と大域的性質に関する研究
| Project/Area Number |
19540217
|
|---|
| Research Institution | Nara Women's University |
|---|
Principal Investigator |
小磯 深幸 Nara Women's University, 理学部, 教授 (10178189)
|
|---|
| Keywords | 非等方的表面エネルギー / 非等方的平均曲率一定曲面 / 平均曲率一定曲面 / ウルフ図形 / 国際研究者交流 / アメリカ合衆国 : ブラジル |
|---|
| Research Abstract |
1. 3次元ユークリッド空間内の種数0の非等方的平均曲率一定曲面の決定:
曲面上の各点における法線方向に依存する表面エネルギーの曲面上での総和(積分)を非等方的表面エネルギーと呼ぶ。これは、たとえば結晶やある種の液晶などのエネルギーの数学的モデルを与える。曲面が囲む体積を変えない変分に対する非等方的表面エネルギーの臨界点を非等方的平均曲率一定曲面(以下ではCAMC曲面と略記する)と呼ぶ。CAMC曲面の研究は、物理学や工学を始めさまざまな分野への応用もある重要な研究課題である。特にエネルギー汎関数が等方的である場合の臨界点は平均曲率一定曲面(以下ではCMC曲面と略記する)であり、CAMC曲面の特別な場合となっている。本研究では、3次元ユークリッド空間内の種数0のCAMC閉曲面はウルフ図形及びその相似に限ることを証明した。すなわち、与えられた体積を囲む種数0のCAMC閉曲面は平行移動を除き一意的であることを証明した。これはCMC閉曲面の一意性についてのHopfの定理の一般化である。本結果は、非等方的曲率流方程式の解の極限の候補の決定にも重要な役割を果たすと期待される。なお、曲面の非等方性は形態形成に重要な役割を果たすため、非等方的曲率流方程式についての研究は、近年、学際的に行われている。
2. CMC曲面に対する境界値問題の解の分岐についての研究:
CMC回転面であって、回転軸に垂直な平面に対して対称であり、面積の第2変分に付随する固有値問題が0固有値をもつものからの、解の分岐について研究した。とりわけ重要な場合である、第2固有値が0であり、かつ安定(体積を保ち境界を変えない任意の変形に対する面積の第2変分が非負)なものからの解の分岐を重点的に調べ、解の分岐の存在及び対称性の崩壊を示した。
|
