Mathematical research on regularity and singularity for the m-harmonic map flows and energy quantization phenomenon

2008 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19540221
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: Kumamoto University
• Principal Investigator: MISAWA Masashi Kumamoto University, 大学院・自然科学研究科, 教授 (40242672)
• Co-Investigator(Renkei-kenkyūsha): TONEGAWA Yoshihiro 北海道大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (80296748) ; NAKAJIMA Tohru 静岡大学, 工学部, 准教授 (50362182)
• Project Period (FY): 2007 – 2008
• Keywords: 調和写像 / 調和写像流 / m調和写像 / m調和写像流 / 正則性 / 特異性 / エネルギー量子化

Research Abstract

幾何学, 物理学に現れる調和写像に関するエネルギー最小化問題を研究した. とくに, エネルギー最急降下曲線である調和写像に対する時間発展, 調和写像流, の解の時間大域的存在と解の滑らかさ(連続性, 微分可能性)について研究した. 調和写像の高次元版であるm調和写像について, その時間発展であるm調和写像流の弱解(数学的な抽象解)の時間大域存在とその解の部分的正則性(滑らかな点とそうでない点の集合を分けること)を証明した. 滑らかでない点周りの解の極限がm調和球面(m次元球面から写像先の多様体へのm調和写像)となる, 特異点周りのbubbling現象を証明した. これらは, 調和写像に対する結果のm調和写像への一般化である. また, m調和写像に対する自由境界問題を研究し, m調和写像流の弱解の時間大域存在とその解の部分的正則性を証明した. また, 自由境界上の特異点周りの解の極限は, m調和球(m次元球から写像先の多様体へのm調和写像)となる, 自由境界上のbubbling現象を証明した.

Research Products

• [Journal Article] Regularity condition by mean oscillation to a weak solution of the 2-dimensional Harmonic heat flow into sphere (2008)
  • Author(s): Masashi Misawa, Takayoshi Ogawa
  • Journal Title: Calculus of Variations and Partial Differential Equations 33 Pages: 391-415
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Higher multiplicity in the one-dimensional Allen-Cahn action functional (2007)
  • Author(s): Tonegawa Yoshihiro, Westdickenberg Maria G.
  • Journal Title: Indiana University Mathematical Journal 56 no.6 Pages: 2935-2989
  • Peer Reviewed
• [Presentation] On a regularity for a class of weak solutions of the harmonic map flows (2008)
  • Author(s): 三沢正史
  • Organizer: 広島応用解析セミナー(国際研究集会)(坂口茂, 三上敏夫代表)
  • Place of Presentation: 広島大学大学院工学研究科
  • Year and Date: 2008-09-03
• [Presentation] 調和写像流の平均振動による正則性条件について (2008)
  • Author(s): 三沢正史
  • Organizer: Nonlinear Partial Differential Equations, SapporoGuest House Symposium onMathematics, Final(小澤徹, 久保英夫代表)
  • Place of Presentation: 札幌天神山国際ハウス
  • Year and Date: 2008-03-29
• [Presentation] 幾何学に現れる時間発展方程式の解の正則性について (2008)
  • Author(s): 三沢正史
  • Organizer: 第7回偏微分方程式ワークショップ(石渡道徳, 黒木場正城代表)
  • Place of Presentation: 鹿児島県市町村自治会館
  • Year and Date: 2008-03-14
• [Presentation] 一般のregularity theoryに関する討論I, II (2008)
  • Author(s): 三沢正史
  • Organizer: (小川卓克, 黒木場正城代表)
  • Place of Presentation: KKRあさくら山口
  • Year and Date: 2008-03-05
• [Presentation] On a regularity problem for the evolution of constant mean curvature surfaces (2007)
  • Author(s): 三沢正史
  • Organizer: Recent Advances on Nonlinear Parabolic and Elliptic Differential Equation(森田喜久, 二宮広和, 柳田英二代表)
  • Place of Presentation: 龍谷大学理工学部
  • Year and Date: 2007-12-03