| Research Abstract |
今年度はマッカイ対応について研究した.これは,ゼロ次元スキームと表現の変形の研究なので,群スキーム$E[3]$の表現の変形の研究と通ずる部分がある.その意味で,マッカイ対応は,本課題のよい練習台として大切である.マッカイ対応の研究での成果は以下の通りである:代表者の2次元マッカイ対応の研究で重要な役割を果たした,表現空間の普遍族である自然な加群$V$と,その修正$V^[\dagger]$は以下のような単純明快な分解を持つ.
V=0_[E(rho)](-1)の直和,ただし,rhoは自明でない全ての表現を動く,V^[dagger]=0_[E(rho)](-1)の直和,ただし,rhoは全ての表現を動く.ここで,自明な表現rho_0に対する$E(rho_0)$はちょうど特異点の基本因子と一致する.また,自明でない表現rhoに対し,E(rho)は既約成分のひとつの有理曲線である.
マッカイ対応(rhoからE(rho)への対応)とは,Vの分解で,既約表現rhoと,それを実現する加群の台として現れる既約成分E(rho)の間の1対1対応にほかならない.このrhoからE(rho)への対応により,既約表現の同値類と拡大ディンキン図形の間には1対1対応がある.この結果により,拡大ディンキン図形を含めたマッカイ対応の説明ができるようになったので,この方向からのマッカイ対応の研究は一段落したと言ってよい.なお,この形の定理は,K-理論やLanglands対応でしばしば見られる.マッカイ対応も同じように定式化できることを示しており,興味深い.ただし,まだ$E_8$の場合は証明されていない.この研究成果は国際会議で発表され,論文は印刷中で,Vに関する部分のみ,会議の報告集に発表される.$V^[\dagger]$については準備中である.
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