2007 Fiscal Year Annual Research Report
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19654003
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Grant-in-Aid for Exploratory Research
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
落合 啓之 Nagoya University, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (90214163)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
黒川 信重 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (70114866)
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| Keywords | マーラー測度 / 解析数論 / D加群 / 多重三角関数 / 周期 / 超幾何関数 / 多重対数関数 |
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| Research Abstract |
本研究では、異なったパラメータに対するマーラー測度の間の相互の関係を組織的に解明することを目標とし、その応用として楕円曲線のL関数(あるいは保型L関数)とマーラー測度の間の関係を一括して導きたい。特に、マーラー測度の間の相互の関係は数の関係であるが、そこにパラメータを導入して関数の間の関係に(予想の)関係式を拡張する。落合啓之は、指標和に基づくリー群上の積分で表わされた関数(ベッセル関数のある種の拡張)を考え、これが階数2の例外型リー群に付随する場合にはパラメータ0でホインの微分方程式を満足することを示した。この場合、難題であるアクセサリパラメータは決めることができる。現在一般のパラメータの場合に研究を進めている。これらは黒川信重との共同研究である。
また、多重ゼータ値や多変数マーラー測度も積分で表示される。(ただし、超幾何積分や球関数とは異なりサイクル上の積分とならない場合が多い。)多重ゼータ値に関しては重シャッフル関係式の空間がワイル群の対称性を持つことを井原健太郎と示した。また、多変数相反多項式を含む多項式族に対して、マーラー測度を一般化超幾何関数で与える公式を黒川信重、M.Lalinと共同で導いた。一方、無限対称群の元に対してゼータ正規化の手法を用いてカシミールエネルギーを導入し、いくつかの非自明な例を与えた。無限になって初めて非可換性が生じたことが新しい。また、非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の特殊値を超幾何積分で与える公式も得た。
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