非線形分散型方程式の初期値境界値問題

2009 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 19684002
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 中村 誠 Tohoku University, 大学院・理学研究科, 准教授 (70312634)
• Keywords: 偏微分方程式 / 非線形 / 初期値問題 / 外部問題 / 消散型波動方程式 / 長時間解 / 時間大域解 / 零条件

Research Abstract

熱方程式、複素ギンツバーグ・ランダウ方程式、消散型波動方程式に対して、波動方程式と分散型方程式においてストリッカーツ評価と呼ばれるものに対応する線形評価を構成することが出来ることが分かり、非線形の方程式とした場合の、ソボレフ空間とベゾフ空間における初期値問題の適切性を考察した。ソボレフ空間とベゾフ空間の指数と非線形項の指数は次元解析の観点から最良となるよう非線形項の精密な評価を行った。消散型波動方程式を放物型方程式としてエネルギー法の観点から系統的に取り扱う方法を考察した。
3次元空間において波動方程式を考えた場合、ホイエンスの原理を利用してエネルギー評価を改良することによりKeel-Smith-Soggeの評価式と呼ばれる線形評価を得ることが出来る。その証明は基本解の評価における解の正値性を使うことから、他次元への一般化はこの方法では出来る見込みが低い。そこで、調和解析の方法を用いてKeel-Smith-Soggeの評価式の一般化を行った。また、非線形の波動方程式の初期値問題に応用して、長時間解と呼ばれる存在時間の極めて長い解の存在、および、時間大域解の存在について考察した。
局所消散型波動方程式の外部問題における時間大域解の存在証明について考察を行った。時間大域解の存在のためには、非線形項は何らかの構造を持たなければならないことが知られており、その一つとして零条件が挙げられる。本研究では、この零条件を満たす出来る限り一般の非線形項を対象として、時間大域解の構成を考察した。